Question

7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x+2分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、B，設(shè)C為AB的中點(diǎn)，D是線段OA上的動(dòng)點(diǎn)（OD＜1），連結(jié)CD，將CD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至DE，交y軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作x軸的平行線交AB于點(diǎn)G，連結(jié)FG，BE，則四邊形BEFG面積的最小值為$\frac{7}{4}$．

Answer 1

分析 先過C作CH⊥AO于H，過E作EM⊥AO于M，則∠CHD=∠DME=90°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，即可判定△CDH≌△DEM，進(jìn)而得出CH=DM，DH=EM，再設(shè)OD=a，則DH=OH-a，進(jìn)而得出OM=EM，即可得到平行四邊形AOEG，進(jìn)而得到GE=AO=2，根據(jù)S_{四邊形BEFG}=S_△BFG+S_△BFE=$\frac{1}{2}$BF×GE=$\frac{1}{2}$×BF×2=BF，BF=BO-FO=2-（a-a²）=a²-a+2，即可得出S_{四邊形BEFG}=（a-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{7}{4}$，據(jù)此可得四邊形BEFG面積的最小值．

解答 解：如圖，過C作CH⊥AO于H，過E作EM⊥AO于M，則∠CHD=∠DME=90°，
由旋轉(zhuǎn)可得，∠CDE=90°，CD=ED，
∴∠HCD=∠MDE，
∴△CDH≌△DEM，
∴CH=DM，DH=EM，
設(shè)OD=a，則DH=OH-a，
∵C為AB的中點(diǎn)，CH∥BO，
∴OH=$\frac{1}{2}$AO=$\frac{1}{2}$×2=1，
∴DH=1-a=EM，
∵DM=CH=$\frac{1}{2}$BO=1，
∴OM=DM-DO=1-a，
∴OM=EM，
∵直線y=x+2分別交x軸、y軸于點(diǎn)A（-2，0）、B（0，2），
∴∠BAO=45°，
連接OE，則∠EOM=45°=∠GAO，
∴AG∥OE，
又∵EG∥OA，
∴四邊形AOEG是平行四邊形，
∴GE=AO=2，
∴S_{四邊形BEFG}=S_△BFG+S_△BFE=$\frac{1}{2}$BF×GE=$\frac{1}{2}$×BF×2=BF，
∵FO∥EM，
∴$\frac{OF}{ME}$=$\frac{DO}{DM}$，即$\frac{OF}{1-a}$=$\frac{a}{1}$，
∴OF=a-a²，
∴BF=BO-FO=2-（a-a²）=a²-a+2，
∴S_{四邊形BEFG}=a²-a+2=（a-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{7}{4}$，
∵0＜a＜1，
∴當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)，四邊形BEFG的面積最小值為$\frac{7}{4}$．
故答案為：$\frac{7}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，平行四邊形的判定以及全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解此題的關(guān)鍵．解題時(shí)注意運(yùn)用割補(bǔ)法表示四邊形BEFG的面積．