Question

12．如圖，已知直線l的解析式是y=$\sqrt{3}$x，過(guò)點(diǎn)A（0，1）作y軸的垂線交直線l于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)B作直線l的垂線交y軸于點(diǎn)A₁；過(guò)點(diǎn)A₁作y軸的垂線交直線l于點(diǎn)B₁，過(guò)點(diǎn)B₁作直線l的垂線交y軸于點(diǎn)A₂，按此作法繼續(xù)下去，則點(diǎn)A₂₀₁₇的縱坐標(biāo)為$（\frac{4}{3}）^{2017}$．

Answer 1

分析 由點(diǎn)A的坐標(biāo)結(jié)合直線l的解析式可求出OB的長(zhǎng)度，進(jìn)而可得出OA₁的長(zhǎng)度，同理可求出OA₂=$\frac{16}{9}$，OA₃=$\frac{64}{27}$，…，根據(jù)線段長(zhǎng)度的變化可找出變化規(guī)律“OA_n=$（\frac{4}{3}）^{n}$”，一次規(guī)律即可得出點(diǎn)A₂₀₁₇的縱坐標(biāo)．

解答 解：∵直線l的解析式是y=$\sqrt{3}$x，
∴∠A_nOB_n=30°．
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），BA⊥y軸，
∴OB=$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∵A₁B⊥直線l，
∴OA₁=$\frac{OB}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{4}{3}$．
同理：可得出OA₂=$\frac{4}{3}$OA₁=$\frac{16}{9}$，OA₃=$\frac{4}{3}$OA₂=$\frac{64}{27}$，…，
∴OA_n=$（\frac{4}{3}）^{n}$．
∴點(diǎn)A₂₀₁₇的縱坐標(biāo)為$（\frac{4}{3}）^{2017}$．
故答案為：$（\frac{4}{3}）^{2017}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、解直角三角形以及規(guī)律型中點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)線段長(zhǎng)度的變化找出變化規(guī)律“OA_n=$（\frac{4}{3}）^{n}$”是解題的關(guān)鍵．