Question

16．如圖，拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+mx+m（m＜0）的頂點(diǎn)為A，交y軸于點(diǎn)C．
（1）求出點(diǎn)A的坐標(biāo)（用含m的式子表示）；
（2）平移直線y=x經(jīng)過點(diǎn)A交拋物線C于另一點(diǎn)B，直線AB下方拋物線C上一點(diǎn)P，求點(diǎn)P到直線AB的最大距離
（3）設(shè)直線AC交x軸于點(diǎn)D，直線AC關(guān)于x軸對(duì)稱的直線交拋物線C于E、F兩點(diǎn)．若∠ECF=90°，求m的值．

Answer 1

分析 （1）利用配方法即可解決問題．
（2）過點(diǎn)P作PQ∥y軸交AB于Q，如圖1中，設(shè)P（a，$\frac{1}{2}$a²+ma+m），首先求出PQ的最大值，點(diǎn)P到直線AB的最大距離d=$\frac{PQ}{\sqrt{2}}$，由此即可即可解決問題．
（3）過點(diǎn)C作MN∥x軸，過點(diǎn)E作EM⊥MN于M，過點(diǎn)F作FN⊥MN于N，如圖2中，設(shè)E（x₁，y₁）、F（x₂，y₂），由Rt△EMC∽R(shí)t△CNF，得$\frac{EM}{CN}$=$\frac{MC}{FN}$，即$\frac{{y}_{1}-m}{{x}_{2}}$$\frac{-{x}_{1}}{{y}_{2}-m}$，化簡得：y₁y₂-m（y₁+y₂）+m²=-x₁x₂，再由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}mx-m}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}+mx+m}\end{array}\right.$，消去y，整理得：x²+3mx+4m=0，利用根與系數(shù)關(guān)系，轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的方程即可解決問題．

解答 解：（1）∵y=$\frac{1}{2}$x²+mx+m=$\frac{1}{2}$（x-m）²-$\frac{1}{2}$m²+m，
∴頂點(diǎn)A坐標(biāo)（-m，-$\frac{1}{2}$m²+m）

（2）∵直線AB的解析式為y=x-$\frac{1}{2}$m²+2m，
設(shè)P（a，$\frac{1}{2}$a²+ma+m），
過點(diǎn)P作PQ∥y軸交AB于Q，如圖1中，

∴Q（a，a-$\frac{1}{2}$m²+2m）
∴PQ=a-$\frac{1}{2}$m²+2m-（$\frac{1}{2}$a²+ma+m）=-$\frac{1}{2}$a²+（1-m）a-$\frac{1}{2}$m²+m
=-$\frac{1}{2}$[a-（1-m）]²+$\frac{1}{2}$，
當(dāng)a=1-m時(shí)，PQ有最大值為$\frac{1}{2}$，
∵PQ與直線AB的夾角為45°
∴P到直線AB的距離d的最大值為d=$\frac{PQ}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

（3）A（-m，-$\frac{1}{2}$m²+m）、C（0，m）
A′（-m，$\frac{1}{2}$m²-m，）、C′（0，-m）
∴直線EF的解析式為y=-$\frac{1}{2}$mx-m，
設(shè)E（x₁，y₁）、F（x₂，y₂）
過點(diǎn)C作MN∥x軸，過點(diǎn)E作EM⊥MN于M，過點(diǎn)F作FN⊥MN于N，如圖2中，

∵∠ECF=90°，
∴∠ECM+∠FCN=90°，∠FCN+∠CFN=90°，
∴∠ECM=∠CFN，∵∠EMC=∠FNC=90°，
∴Rt△EMC∽R(shí)t△CNF，
∴$\frac{EM}{CN}$=$\frac{MC}{FN}$，
即$\frac{{y}_{1}-m}{{x}_{2}}$=$\frac{-{x}_{1}}{{y}_{2}-m}$，
化簡得：y₁y₂-m（y₁+y₂）+m²=-x₁x₂
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}mx-m}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}+mx+m}\end{array}\right.$，消去y，整理得：x²+3mx+4m=0
∴x₁+x₂=-3m，x₁x₂=4m
y₁y₂=（-$\frac{1}{2}$mx₁-m）（-$\frac{1}{2}$mx₂-m）=-$\frac{1}{2}$m³+m²
y₁+y₂=$\frac{3}{2}$m²-2m，
∴-$\frac{1}{2}$m³+m²-m（$\frac{3}{2}$m²-2m）+m²=-4m，
∴m（m²-2m-2）=0
解得m=1-$\sqrt{3}$或1+$\sqrt{3}$或0，
∵m＜0，
∴m=1-$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的綜合題、配方法、相似三角形的判定和性質(zhì)、根與系數(shù)關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線構(gòu)造相似三角形，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問題，把問題轉(zhuǎn)化為方程的思想，屬于中考?jí)狠S題．