Question

6．若a＞1，求關(guān)于x的方程$\sqrt{a-\sqrt{a+x}}$=x的解．

Answer 1

分析 將原方程變形為x⁴-2ax²-x+a²-a=0，將其分解因式即可得出x²-x-a=0或x²+x+1-a=0，根據(jù)x≥0、a＞1利用求根公式即可求出x的值，經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出方程的解．

解答 解：原方程可變形為：x⁴-2ax²-x+a²-a=0，
即（x²-x-a）（x²+x+1-a）=0，
∴x²-x-a=0或x²+x+1-a=0，
∵x≥0，a＞1，
∴x₁=$\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2}$，x₂=$\frac{-1+\sqrt{4a-3}}{2}$．
又∵a-$\sqrt{a+x}$≥0，a＞1，
∴x₁=$\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2}$不合適，
故關(guān)于x的方程$\sqrt{a-\sqrt{a+x}}$=x的解為$\frac{-1+\sqrt{4a-3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了無(wú)理方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握無(wú)理方程的解法．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)無(wú)理方程成立的條件判斷x的值是否合適是關(guān)鍵．