Question

8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=x²+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，直線AC的解析式為y=kx-3，且tan∠ACO=$\frac{1}{3}$．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P是直線BC上方的拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥y軸交直線BC于點(diǎn)Q．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，PQ的長(zhǎng)為d，求d與t的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，連接 PB、PC，當(dāng)S_△PBC=6時(shí)，求點(diǎn) P坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由條件可先求得A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，代入拋物線解析式可求得b、c的值，可求得拋物線解析式；
（2）可先求得B點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法可求得直線BC解析式，則可用t分別表示出P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，可求得d與t的函數(shù)關(guān)系式，由P在直線BC上方可求得t的取值范圍；
（3）當(dāng)P點(diǎn)在x軸上方時(shí)，可先用待定系數(shù)法用含t的式子求得直線PC解析式，設(shè)直線PC交x軸于點(diǎn)M，則可用t表示出M點(diǎn)坐標(biāo)，可得到BM的長(zhǎng)，從而可用t表示出△PBC的面積，可求得t的值，求得P點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)P點(diǎn)在x軸下方時(shí)，可先求得直線PB的解析式，設(shè)直線PB交y軸于點(diǎn)N，則可用t表示出NC的長(zhǎng)，從而可表示出△PBC的面積，從而可求得t的值，可求得P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：
（1）在y=kx-3中，令x=0可得y=-3，
∴C（0，-3），
∴OC=3，
∵tan∠ACO=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{OA}{OC}$=$\frac{1}{3}$，即$\frac{OA}{3}$=$\frac{1}{3}$，
∴OA=1，
∴A（-1，0），
把A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{c=-3}\\{1-b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=x²-2x-3；
（2）在y=x²-2x-3中，令y=0可得0=x²-2x-3，解得x=-1或x=3，
∴B（3，0），
∴直線BC解析式為y=x-3，
∵PQ∥y軸交直線BC于點(diǎn)Q，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，
∴P（t，t²-2t-3），Q（t，t-3），
∵點(diǎn)P是直線BC上方的拋物線上一點(diǎn)，
∴PQ=t²-2t-3-（t-3）=t²-3t，
即d=t²-3t，
由圖象可知t＜0或t＞3；
（3）①當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，如圖1，連接PC交x軸于點(diǎn)M，

設(shè)直線PC解析式為y=kx+m，把P、C坐標(biāo)代入可得$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}-2t-3=tk+m}\\{-3=m}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=t-2}\\{m=-3}\end{array}\right.$，
∴直線PC解析式為y=（t-2）x-3，
令y=0可得0=（t-2）x-3，解得x=$\frac{3}{t-2}$，
∴M（$\frac{3}{t-2}$，0），
∴BM=3-$\frac{3}{t-2}$=$\frac{3（t-3）}{t-2}$，
∵S_△PBC=6，
∴$\frac{1}{2}$BM•（t²-2t-3+3）=6，即$\frac{1}{2}$×$\frac{3（t-3）}{t-2}$×t（t-2）=6，
整理可得t²-3t-4=0，解得t=-1或t=4，
當(dāng)t=-1時(shí)，t²-2t-3=0，此時(shí)P點(diǎn)即為A點(diǎn)，坐標(biāo)為（-1，0），
當(dāng)t=4時(shí)，t²-2t-3=5，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（4，5），
②當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，如圖2，連接PB交y軸于點(diǎn)N，

設(shè)直線PB解析式為y=gx+n，把P、B坐標(biāo)代入可得$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}-2t-3=tg+n}\\{0=3g+n}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{g=t+1}\\{n=3（t+1）}\end{array}\right.$，
∴直線PB解析式為y=（t+1）x+3（t+1），
令x=0可得y=3（t+1），
∴N（0，3（t+1）），
∴CN=3（t+1）-（-3）=3（t+2），
∵S_△PBC=6，
∴$\frac{1}{2}$CN•（3-t）=6，即$\frac{1}{2}$×3（t+2）×（3-t）=6，
整理可得t²-t-2=0，解得t=-1或t=2，
當(dāng)t=2時(shí)，P點(diǎn)在直線BC下方，不符合題意，舍去，
當(dāng)t=-1時(shí)，同①，
綜上可知P點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0）或（4，5）．

點(diǎn)評(píng) 本題為二次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及三角函數(shù)定義、待定系數(shù)法、函數(shù)與方程、三角形的面積及分類討論思想等知識(shí)點(diǎn)．在（1）中求出A、C坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（2）中求得直線BC解析式是解題的關(guān)鍵，在（3）用t表示出△PBC的面積是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，計(jì)算量較大，綜合性較強(qiáng)，難度較大．