Question

15．如圖，正方形ABCD的邊長是16，點E在邊AB上，AE=3，點F是邊BC上不與點B、C重合的一個動點，把△EBF沿EF折疊，點B落在B′處．若△CDB′恰為等腰三角形，則DB′的長為16或4$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 根據(jù)翻折的性質(zhì)，可得B′E的長，根據(jù)勾股定理，可得CE的長，根據(jù)等腰三角形的判定，可得答案．

解答 解：（i）如圖1所示：當B′D=B′C時，過B′點作GH∥AD，則∠B′GE=90°．

當B′C=B′D時，AG=DH=$\frac{1}{2}$DC=8．
由AE=3，AB=16，得BE=13．
由翻折的性質(zhì)，得B′E=BE=13．
∴EG=AG-AE=8-3=5，
∴B′G=$\sqrt{B′{E}^{2}-E{G}^{2}}$=$\sqrt{1{3}^{2}-{5}^{2}}$=12，
∴B′H=GH-B′G=16-12=4，
∴DB′=$\sqrt{B′{H}^{2}+D{H}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}$=4$\sqrt{5}$
（ii）當DB′=CD時，則DB′=16（易知點F在BC上且不與點C、B重合）．
（iii）如圖2所示：

當CB′=CD時，
∵EB=EB′，CB=CB′，
∴點E、C在BB′的垂直平分線上，
∴EC垂直平分BB′，
由折疊可知點F與點C重合，不符合題意，舍去．
綜上所述，DB′的長為16或4$\sqrt{5}$．
故答案為：16或4$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了翻折變換、勾股定理、等腰三角形的判定，分類討論是解題的關(guān)鍵．