Question

9．如圖，四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)E在線段CB上，連接DE交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，∠AED=2∠CED，點(diǎn)G是DF中點(diǎn)，若BE=2，AG=2$\sqrt{7}$，則AB的長(zhǎng)為2$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得AG=DG，然后根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)可得∠ADG=∠DAG，再結(jié)合兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠ADG=∠CED，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠AGE=2∠ADG，從而得到∠AED=∠AGE，再利用等角對(duì)等邊的性質(zhì)得到AE=AG，然后利用勾股定理列式計(jì)算即可得解．

解答 解：∵四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)G是DF的中點(diǎn)，
∴AG=DG，
∴∠ADG=∠DAG，
∵AD∥BC，
∴∠ADG=∠CED，
∴∠AGE=∠ADG+∠DAG=2∠CED，
∵∠AED=2∠CED，
∴∠AED=∠AGE，
∴AE=AG=2$\sqrt{7}$，
在Rt△ABE中，AB=$\sqrt{A{E}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{28-4}$=2$\sqrt{6}$，
故答案為：2$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)，等邊對(duì)等角的性質(zhì)，等角對(duì)等邊的性質(zhì)，以及勾股定理的應(yīng)用，求出AE=AG是解題的關(guān)鍵．