Question

17．已知二次函數(shù)y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c的圖象與x軸的正半軸相交于點(diǎn)A（2，0）和點(diǎn)B、與y軸相交于點(diǎn)C，它的頂點(diǎn)為M、對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)N．
（1）用b的代數(shù)式表示頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)tan∠MAN=2時(shí)，求此二次函數(shù)的解析式及∠ACB的正切值．

Answer 1

分析 （1）由于二次函數(shù)過(guò)點(diǎn)A，從而可知c=2-2b，然后將c代入拋物線的解析式中即可求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）根據(jù)解析式可求出MN=$\frac{1}{2}$（b-2）²，由于點(diǎn)B的位置不確定，需要分情況討論，求出b的值，從而求出二次函數(shù)的解析式，然后求出B、C的坐標(biāo)后即可求出tan∠ACB．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，0），
∴0=-$\frac{1}{2}$×4+2b+c
∴c=2-2b
∴y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c=-$\frac{1}{2}$x²+bx+2-2b
=-$\frac{1}{2}$（x-b）²+$\frac{^{2}-4b+4}{2}$
∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（b，$\frac{^{2}-4b+4}{2}$）

（2）∵tan∠MAN=$\frac{MN}{AN}$=2
∴MN=2AN．
∵M(jìn)（b，$\frac{^{2}-4b+4}{2}$）
∴N（b，0），
∴MN=$\frac{1}{2}$（b-2）²
①當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)N左側(cè)時(shí)，AN=2-b，
∴$\frac{1}{2}$（b-2）²=2（2-b）
∴b=-2．不符合題意．
②當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)N右側(cè)時(shí)，AN=b-2，
∴$\frac{1}{2}$（b-2）²=2（b-2）
∴b=6
∴二次函數(shù)的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+6x-10
∴點(diǎn)C（0，-10），
∵點(diǎn)A、B關(guān)于直線MN對(duì)稱，
∴點(diǎn)B（10，0）．
∵OB=OC=10，
∴BC=10，∠OBC=45°，
過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC，垂足為H，
∵AB=8，∴AH=BH=4$\sqrt{2}$，∴CH=6$\sqrt{2}$
∴tan∠ACB=$\frac{AH}{CH}$=$\frac{4\sqrt{2}}{6\sqrt{2}}$=$\frac{2}{3}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的綜合問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意求出二次函數(shù)的解析式，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)即可求出tan∠ACB的值，本題屬于中等題型．