Question

2．如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=10，D為BC邊的中點(diǎn)，以AD上一點(diǎn)O為圓心的⊙O和AB、BC均相切，則⊙O的半徑為$\frac{12}{7}$．

Answer 1

分析 過點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，OF⊥BC于點(diǎn)F．根據(jù)切線的性質(zhì)，知OE、OF是⊙O的半徑；然后由三角形的面積間的關(guān)系（S_△ABO+S_△BOD=S_△ABD=S_△ACD）列出關(guān)于圓的半徑的等式，求得圓的半徑．

解答 解：過點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，OF⊥BC于點(diǎn)F．
∵AB、BC是⊙O的切線，
∴點(diǎn)E、F是切點(diǎn)，
∴OE、OF是⊙O的半徑；
∴OE=OF；
在△ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=10，
∴由勾股定理，得BC=8；
又∵D是BC邊的中點(diǎn)，
∴S_△ABD=S_△ACD，
又∵S_△ABD=S_△ABO+S_△BOD，
∴$\frac{1}{2}$AB•OE+$\frac{1}{2}$BD•OF=$\frac{1}{2}$CD•AC，即10×OE+4×OE=4×6，
解得OE=$\frac{12}{7}$，
∴⊙O的半徑是$\frac{12}{7}$，
故答案為$\frac{12}{7}$．

點(diǎn)評 本題考查了切線的性質(zhì)與三角形的面積．運(yùn)用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．