Question

12．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，AD是∠BAC的平分線(xiàn)．
（1）尺規(guī)作圖：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC于E；
（2）求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)作直線(xiàn)垂線(xiàn)的作法即可畫(huà)出圖形；
（2）設(shè)DE=x，則AC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，跟進(jìn)吧AD是∠BAC的平分線(xiàn)，∠ABC=90°，DE⊥AC可得出BD=DE=x，CD=BC-BD=4-x，再由S_△ACD=$\frac{AC•DE}{2}$=$\frac{CD•AB}{2}$求出x的值即可．

解答 解：（1）方法1，如圖1所示，過(guò)點(diǎn)D作AC的垂線(xiàn)即可；
方法2：運(yùn)用角平分線(xiàn)的性質(zhì)，以點(diǎn)D為圓心，BD的長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，⊙D和AC相切于點(diǎn)E，連接DE即可．
（2）方法一：設(shè)DE=x，則AC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5．
∵AD是∠BAC的平分線(xiàn)，∠ABC=90°，DE⊥AC，
∴BD=DE=x，CD=BC-BD=4-x．
∵S_△ACD=$\frac{AC•DE}{2}$=$\frac{CD•AB}{2}$，
∴$\frac{5x}{2}$=$\frac{3（4-x）}{2}$，解得x=$\frac{3}{2}$，
∴DE=x=$\frac{3}{2}$．
方法二：設(shè)DE=x，則AC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5．
∵AD是∠BAC的平分線(xiàn)，∠ABC=90°，DE⊥AC，
∴BD=DE=x，CD=BC-BD=4-x．
∵∠DEC=∠ABC=90°，∠C=∠C，
∴△DEC∽△ABC，
∴$\frac{DE}{AB}$=$\frac{CD}{AC}$，
∴$\frac{x}{3}$=$\frac{4-x}{5}$，解得x=$\frac{3}{2}$，
∴DE=x=$\frac{3}{2}$．
方法三：設(shè)DE=x，則AC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5．
∵AD是∠BAC的平分線(xiàn)，∠ABC=90°，DE⊥AC，
∴BD=DE=x，CD=BC-BD=4-x．
∵在Rt△ABC中，sin∠C=$\frac{AB}{AC}$=$\frac{3}{5}$，
在Rt△DEC中，sin∠C=$\frac{DE}{CD}$=$\frac{x}{4-x}$，
∴$\frac{3}{5}$=$\frac{x}{4-x}$，解得x=$\frac{3}{2}$，
∴DE=x=$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是作圖-基本作圖，熟知過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)作直線(xiàn)垂線(xiàn)的作法是解答此題的關(guān)鍵．