Question

5．如圖，已知二次函數(shù)y=x²+bx+c（b，c為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點A（3，-1），點C（0，-4），頂點為點M，過點A作AB∥x軸，交y軸與點D，交該二次函數(shù)圖象于點B，連結(jié)BC．
（1）求該二次函數(shù)的解析式及點M的坐標；
（2）若將該二次函數(shù)圖象向上平移m（m＞0）個單位，使平移后得到的二次函數(shù)圖象的頂點落在△ABC的內(nèi)部（不包含△ABC的邊界），求m的取值范圍；
（3）點P時直線AC上的動點，若點P，點C，點M所構(gòu)成的三角形與△BCD相似，請直接寫出所有點P的坐標（直接寫出結(jié)果，不必寫解答過程）．

Answer 1

分析 （1）把A、C兩點的坐標代入拋物線的解析式可求b、c的值，然后利用配方法可求得點M的坐標；
（2）先求得直線AC的解析式，然后再求得拋物線的對稱軸，設(shè)直線x=1與△ABC的兩邊分別交于點E與點F，然后求得點E和點F的坐標，然后依據(jù)平移后拋物線的頂點在△BAC的內(nèi)部列不等式組求解即可；
（3）先證明∠PCM為直角，然后分為△MPC∽△CBD、BDC∽△MCP，兩種情況求得PC的長，然后再求得點P的坐標即可．

解答 解：（1）把A、C兩點的坐標代入得：$\left\{\begin{array}{l}{9+3b+3=-1}\\{c=-4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-4}\end{array}\right.$．
∴二次函數(shù)的解析式為y=x²-2x-4．
配方得：y=（x-1）²-5．
∴點M的坐標為（1，-5）．

（2）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，把點A、C的坐標代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=-1}\\{b=-4}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為y=x-4．
拋物線的對稱軸方程為x=-$\frac{2a}$=1．

如圖1所示，直線x=1與△ABC的兩邊分別交于點E與點F，則點F的坐標為（1，-1）．
將x=1代入直線y=x-4得：y=-3．
∴E（1，-3）．
∵拋物線向上平移m個單位長度時，拋物線的頂點在△BAC的內(nèi)部，
∴-3＜-5+m＜-1．
∴2＜m＜4．

（3）如圖2所示：

把y=-1代入拋物線的解析式得：x²-2x-4=-1，解得x=-1或x=3，
∴B（-1，-1）．
∴BD=1．
∵AB∥x軸，A（4，-1），
∴D（0，-1）
∴AD=DC=3．
∴∠DCA=45°．
過點M作ME⊥y軸，垂足為E．
∵C（0，-4），M（1，-5）．
∴CE=ME=1．
∴∠ECM=45°，MC=$\sqrt{2}$．
∴∠ACM=90°．
∴∠PCM=∠CDB=90°．
①當(dāng)△MPC∽△CBD時，$\frac{PC}{BD}=\frac{DC}{CM}$，即$\frac{PC}{1}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，解得PC=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
∴CF=PF=sin45°•PC=$\frac{\sqrt{2}}{3}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1}{3}$．
∴P（-$\frac{1}{3}$，-$\frac{13}{3}$）．
如圖3所示：點P在點C的右側(cè)時，過點P作PF⊥y軸，垂足為F．

∵CP=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，∠FCP=45°，∠CFP=90°，
∴CF=FP=$\frac{\sqrt{2}}{3}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1}{3}$．
∴P（-$\frac{1}{3}$，-$\frac{11}{3}$）．
②當(dāng)BDC∽△MCP時，$\frac{PC}{CM}$=$\frac{DC}{BD}$，即$\frac{PC}{\sqrt{2}}$=$\frac{3}{1}$，解得PC=3$\sqrt{2}$．
如圖4所示：當(dāng)點P在AC的延長線上時，過點作PE⊥y軸，垂足為E．

∵PC=3$\sqrt{2}$，∠PCE=45°，∠PEC=90°，
∴CE=PE=3$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=3．
∴P（-3，-7）．
如圖5所示：當(dāng)點P在AC上時，過點P作PE⊥y軸，垂足為E．

∵PC=3$\sqrt{2}$，∠PCE=45°，∠PEC=90°，
∴CE=PE=3$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=3．
∴P（3，-1）．
綜上所述，點P的坐標為（-3，-7）或（3，-1）或（-$\frac{1}{3}$，-$\frac{13}{3}$）或（-$\frac{1}{3}$，-$\frac{11}{3}$）．

點評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、平移與坐標變化、相似三角形的性質(zhì)，依據(jù)題意畫出符合題意的圖形是解題的關(guān)鍵．