Question

14．問題探究：
【1】新知學(xué)習(xí)
（1）梯形的中位線：連接梯形兩腰中點(diǎn)的線段叫做梯形的中位線．
（2）梯形的中位線性質(zhì)：梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半．
（3）形如分式$\frac{m}{x+2m}$�。╩為常數(shù)，且m＞0），若x＞0，則$\frac{m}{x+2m}$，并且有下列結(jié)論：
當(dāng)x 逐漸增大時(shí)，分母x+2m逐漸增大，分式$\frac{m}{x+2m}$的值逐漸減少并趨于0，但仍大于0．當(dāng)x 逐漸減少時(shí)，分母x+2m逐漸減少，分式$\frac{m}{x+2m}$的值逐漸增大并趨于$\frac{m}{2m}$，即趨于$\frac{1}{2}$，但仍小于$\frac{1}{2}$．
【2】問題解決一
如圖2，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)．
（1）設(shè)AD=7，BC=17，求$\frac{{S}_{四邊形BCFE}}{{S}_{四邊形ADFE}}$的值．
（2）設(shè)AD=a（a為正的常數(shù)），BC=x，請問：當(dāng)BC的長不斷增大時(shí)，$\frac{{S}_{四邊形BCFE}}{{S}_{四邊形ADFE}}$的值能否大于或等于3，試證明你的結(jié)論．
【3】問題解決二
進(jìn)一步猜想：任何一個(gè)梯形的中位線所分成的兩部分圖形的面積的比值所在的范圍是什么，并說明理由．

Answer 1

分析 問題解決一
（1）設(shè)梯形ADFE的高為h，則梯形BCFE的高為h，證出EF是梯形ABCD的中位線，由梯形中位線定理得出EF∥AD∥BC，EF=$\frac{1}{2}$（AD+BC）=12，由梯形面積公式即可得出答案；
（2）由梯形中位線定理得出EF=$\frac{1}{2}$（AD+BC）=$\frac{1}{2}$（a+x），由（1）得：$\frac{{S}_{四邊形BCFE}}{{S}_{四邊形ADFE}}$=$\frac{\frac{1}{2}（a+x）+x}{a+\frac{1}{2}（a+x）}$=$\frac{a+3x}{3a+x}$，當(dāng)BC的長x不斷增大時(shí)，$\frac{a+3x}{3a+x}$的分子a+3x逐漸增大并趨于，即趨于3，但仍小于3；
問題解決二
由（2）得：$\frac{{S}_{四邊形BCFE}}{{S}_{四邊形ADFE}}$=$\frac{a+3x}{3a+x}$＜3，當(dāng)x 逐漸減少時(shí)，分母3a+x逐漸減少，x趨于a，則a+3x趨于4a，3a+x趨于4a，得出$\frac{{S}_{四邊形BCFE}}{{S}_{四邊形ADFE}}$=$\frac{a+3x}{3a+x}$的值趨于1，但大于1，即可得出答案．

解答 問題解決一
解：（1）設(shè)梯形ADFE的高為h，則梯形BCFE的高為h，
∵E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，
∴EF是梯形ABCD的中位線，
∴EF∥AD∥BC，EF=$\frac{1}{2}$（AD+BC）=$\frac{1}{2}$（7+17）=12，
∴$\frac{{S}_{四邊形BCFE}}{{S}_{四邊形ADFE}}$=$\frac{\frac{1}{2}（12+17）•h}{\frac{1}{2}（7+12）•h}$=$\frac{29}{19}$；

（2）當(dāng)BC的長不斷增大時(shí)，$\frac{{S}_{四邊形BCFE}}{{S}_{四邊形ADFE}}$的值不能大于或等于3；理由如下：
∵E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，
∴EF是梯形ABCD的中位線，
∴EF=$\frac{1}{2}$（AD+BC）=$\frac{1}{2}$（a+x），
由（1）得：$\frac{{S}_{四邊形BCFE}}{{S}_{四邊形ADFE}}$=$\frac{\frac{1}{2}（a+x）+x}{a+\frac{1}{2}（a+x）}$=$\frac{a+3x}{3a+x}$，
當(dāng)BC的長x不斷增大時(shí)，$\frac{a+3x}{3a+x}$的分子a+3x逐漸增大并趨于，即趨于3，但仍小于3；
∴當(dāng)BC的長不斷增大時(shí)，$\frac{{S}_{四邊形BCFE}}{{S}_{四邊形ADFE}}$的值不能大于或等于3；

問題解決二
解：任何一個(gè)梯形的中位線所分成的兩部分圖形的面積的比值所在的范圍是大于1而小于3；理由如下：
由（2）得：$\frac{{S}_{四邊形BCFE}}{{S}_{四邊形ADFE}}$=$\frac{a+3x}{3a+x}$＜3，當(dāng)x 逐漸減少時(shí)，分母3a+x逐漸減少，x趨于a，
則a+3x趨于4a，3a+x趨于4a，
∴$\frac{{S}_{四邊形BCFE}}{{S}_{四邊形ADFE}}$=$\frac{a+3x}{3a+x}$的值趨于1，但大于1，
∴1＜$\frac{{S}_{四邊形BCFE}}{{S}_{四邊形ADFE}}$＜3，
故任何一個(gè)梯形的中位線所分成的兩部分圖形的面積的比值所在的范圍是大于1而小于3．

點(diǎn)評 本題是四邊形綜合題目，考查了梯形的性質(zhì)、梯形中位線定理、梯形面積公式、分式的性質(zhì)等知識；熟練掌握梯形中位線定理是解決問題的關(guān)鍵．