Question

17．如圖，將正方形紙片ABCD折疊，使點B落在CD邊上一點E（不與點C，D重合），壓平后得到折痕MN．
（1）當$\frac{CE}{CD}$=$\frac{1}{2}$時，求$\frac{AM}{BN}$的值；
（2）若$\frac{CE}{CD}$=$\frac{1}{n}$（n為整數(shù)），求$\frac{AM}{BN}$的值（用含n的式子表示）．

Answer 1

分析 （1）連接BM，EM，BE．由題設，得四邊形ABNM和四邊形FENM關于直線MN對稱．由軸對稱的性質知BM=EM，BN=EN．又有∠A=∠D=∠C=90°，設AB=BC=CD=DA=2．由$\frac{CE}{CD}$得，CE=DE=1；設BN=x，則NE=x，NC=2-x．在Rt△CNE中，由勾股定理可解得x的值，從而得以BN的值，在Rt△ABM和在Rt△DEM中，由勾股定理知AM²+AB²=BM²，DM²+DE²=EM²，有AM²+AB²=DM²+DE²．設AM=y，則可求得y的值，得到AM的值從而得到$\frac{AM}{BN}$．
（2）連接BE，$\frac{CE}{CD}$=$\frac{1}{n}$，令CD=CB=n，則CE=1，設BN=x，則EN=x，由勾股定理得x=$\frac{{n}^{2}+1}{2n}$；作MH⊥BC于H，可證得△EBC≌△NMH，由此得NH=1，從而可得$\frac{AM}{BN}$的值．

解答 解：（1）如圖1，連接BM，EM，BE．
由題設，得四邊形ABNM和四邊形FENM關于直線MN對稱．
∴MN垂直平分BE，
∴BM=EM，BN=EN．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=∠D=∠C=90°，
設AB=BC=CD=DA=2．
∵$\frac{CE}{CD}$=$\frac{1}{2}$，
∴CE=DE=1．
設BN=x，則NE=x，NC=2-x．
在Rt△CNE中，NE²=CN²+CE²．
∴x²=（2-x）²+1²，
解得x=$\frac{5}{4}$，即BN=$\frac{5}{4}$．
在Rt△ABM和在Rt△DEM中，AM²+AB²=BM²，DM²+DE²=EM²，
∴AM²+AB²=DM²+DE²．
設AM=y，則DM=2-y，
∴y²+2²=（2-y）²+1²，
解得y=$\frac{1}{4}$，即AM=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{AM}{BN}$=$\frac{1}{5}$．
（2）當四邊形ABCD為正方形時，連接BE，$\frac{CE}{CD}$=$\frac{1}{n}$，
不妨令CD=CB=n，則CE=1，設BN=x，則EN=x，
EN²=NC²+CE²，
x²=（n-x）²+1²，
x=$\frac{{n}^{2}+1}{2n}$；
如圖2，作MH⊥BC于H，則MH=BC，
又點B，E關于MN對稱，則MN⊥BE，∠EBC+∠BNM=90°；
∵∠NMH+∠BNM=90°，
∴∠EBC=∠NMH，
在△EBC和△NMH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EBC=∠NMH}\\{∠MNH=∠BCE=90°}\\{MH=BC}\end{array}\right.$，
∴△EBC≌△NMH，
∴NH=EC=1，
AM=BH=BN-NH=$\frac{{n}^{2}+1}{2n}$-1=$\frac{{n}^{2}-2n+1}{2n}$，
則：$\frac{AM}{BN}$=$\frac{\frac{{n}^{2}-2n+1}{2n}}{\frac{{n}^{2}+1}{2n}}$=$\frac{{n}^{2}-2n+1}{{n}^{2}+1}$．

點評 本題考查圖形的翻折變換，相似三角形的判定和性質以及勾股定理的綜合應用，由于計算量較大，需要細心求解．