Question

1．如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是線段BC上一點，∠EDB=$\frac{1}{2}$∠C，BE⊥DE，垂足為E，DE與AB相交于F．
（1）如圖①，當C，D重合時，試探究線段BE和FD的數(shù)量關系，并證明．（提示：延長CA與BE）
（2）如圖②，當點D是線段BC上異于B，C兩點的任意一點，而其他條件不變時，①中的結論是否還成立？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）首先延長CA與BE交于點G，根據(jù)∠EDB=$\frac{1}{2}$∠C，BE⊥DE，判斷出BE=EG=$\frac{1}{2}$BG；然后根據(jù)全等三角形的判定方法，判斷出△ABG≌△ACF，即可判斷出BG=CF=FD，再根據(jù)BE=$\frac{1}{2}$BG，可得BE=$\frac{1}{2}$FD，據(jù)此判斷即可．
（2）首先過點D作DG∥AC，與AB交于H，與BE的延長線交于G，根據(jù)DG∥AC，∠BAC=90°，判斷出∠BDE=∠EDG；然后根據(jù)全等三角形的判定方法，判斷出△DEB≌△DEG，即可判斷出BE=EG=$\frac{1}{2}$BG；最后根據(jù)全等三角形的判定方法，判斷出△BGH≌△DFH，即可判斷出BG=FD，所以BE=$\frac{1}{2}$FD，據(jù)此判斷即可．

解答 解：（1）如圖①，延長CA與BE交于點G，，
∵∠EDB=$\frac{1}{2}$∠C，
∴∠EDG=∠BDG-∠BDE=∠C-$\frac{1}{2}$∠C=$\frac{1}{2}$∠C，
∴∠BDE=∠EDG，
即CE是∠BCG的平分線，
又∵BE⊥DE，
∴BE=EG=$\frac{1}{2}$BG，
∵∠BED=∠BAD=90°，∠BFE=∠CFA，
∴∠EBF=∠ACF，
即∠ABG=∠ACF，
在△ABG和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABG=∠ACF}\\{AB=AC}\\{∠BAG=∠CAF=90°}\end{array}\right.$
∴△ABG≌△ACF，
∴BG=CF=FD，
又∵BE=$\frac{1}{2}$BG，
∴BE=$\frac{1}{2}$FD．

（2）如圖②，過點D作DG∥AC，與AB交于H，與BE的延長線交于G，，
∵DG∥AC，∠BAC=90°，
∴∠BDG=∠C，∠BHD=∠BHG=∠BAC=90°，
又∵∠BDE=$\frac{1}{2}$∠C，
∴∠EDG=∠BDG-∠BDE=∠C-$\frac{1}{2}$∠C=$\frac{1}{2}$∠C，
∴∠BDE=∠EDG，
在△DEB和△DEG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDE=∠EDG}\\{DE=DE}\\{∠DEB=∠DEG=90°}\end{array}\right.$
∴△DEB≌△DEG，
∴BE=EG=$\frac{1}{2}$BG，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=∠GDB，
∴HB=HD，
∵∠BED=∠BHD=90°，∠BFE=∠DFH，
∴∠EBF=∠HDF，
即∠HBG=∠HDF，
在△BGH和△DFH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠HBG=∠HDF}\\{HB=HD}\\{∠BHG=∠DHF}\end{array}\right.$
∴△BGH≌△DFH，
∴BG=FD，
又∵BE=$\frac{1}{2}$BG，
∴BE=$\frac{1}{2}$FD，
即①中的結論還成立．

點評 （1）此題主要考查了全等三角形的判定和性質的應用，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：①在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當?shù)呐卸�條件．②在應用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構造三角形．
（2）此題還考查了等腰直角三角形的性質和應用，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質，還具備等腰三角形和直角三角形的所有性質，即：兩個銳角都是45°，斜邊上中線、角平分線、斜邊上的高，三線合一，等腰直角三角形斜邊上的高為外接圓的半徑R，而高又為內切圓的直徑．