Question

19．如圖，已知直線l₁∥l₂，l₃、l₄和l₁、l₂分別交于點A、B、C、D，點P 在直線l₃或l₄上且不與點A、B、C、D重合．記∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．
（1）若點P在圖（1）位置時，求證：∠3=∠1+∠2；
（2）若點P在圖（2）位置時，請直接寫出∠1、∠2、∠3之間的關(guān)系；
（3）若點P在圖（3）位置時，寫出∠1、∠2、∠3之間的關(guān)系并給予證明．

Answer 1

分析 此題三個小題的解題思路是一致的，過P作直線l₁、l₂的平行線，利用平行線的性質(zhì)得到和∠1、∠2相等的角，然后結(jié)合這些等角和∠3的位置關(guān)系，來得出∠1、∠2、∠3的數(shù)量關(guān)系．

解答 證明：（1）過P作PQ∥l₁∥l₂，
由兩直線平行，內(nèi)錯角相等，可得：
∠1=∠QPE、∠2=∠QPF；
∵∠3=∠QPE+∠QPF，
∴∠3=∠1+∠2．

（2）關(guān)系：∠3=∠2-∠1；
過P作直線PQ∥l₁∥l₂，
則：∠1=∠QPE、∠2=∠QPF；
∵∠3=∠QPF-∠QPE，
∴∠3=∠2-∠1．

（3）關(guān)系：∠3=360°-∠1-∠2．
過P作PQ∥l₁∥l₂；
同（1）可證得：∠3=∠CEP+∠DFP；
∵∠CEP+∠1=180°，∠DFP+∠2=180°，
∴∠CEP+∠DFP+∠1+∠2=360°，
即∠3=360°-∠1-∠2．

點評 此題主要考查的是平行線的性質(zhì)，能夠正確地作出輔助線，是解決問題的關(guān)鍵．