Question

4．如圖，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l：y=kx+2（k＜0）與x軸、y軸分別交于點(diǎn)G（m，0），點(diǎn)C（0，2），B是直線l上的一點(diǎn)，且點(diǎn)A（2，0）．
（1）若∠GCA=15°，m＞2，求直線l的解析式；
（2）若AB⊥BC，AB=1，求m的值；
（3）若點(diǎn)B在第一象限，且AB=AO，△OBC是等腰三角形，直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）求出點(diǎn)G坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可解決問(wèn)題；
（2）分兩種情形①m＞2時(shí)，如圖2中，Rt△GOC∽△Rt△GBA，②0＜m＜2時(shí)，如圖3中，分別求解即可．
（3）分三種情形討論求解即可．①當(dāng)OC=OB時(shí)，△OBA是等邊三角形時(shí)，△OBC是等腰三角形，此時(shí)B（1，$\sqrt{3}$）．②當(dāng)BC=OB時(shí)，易知B的縱坐標(biāo)為1，設(shè)橫坐標(biāo)為x，則有1²+（2-x）²=2²．③當(dāng)CO=CB時(shí)，BC∥x軸，不符合題意．

解答 解：（1）如圖1中，

∵OC=OA=2，
∴∠OCA=∠OAC=45°，
∵∠GCA=15°，m＞2，
∴∠GCO=60°，
在Rt△GOC中，CO=2，
∴OG=2$\sqrt{3}$，
∴G（2$\sqrt{3}$，0），
設(shè)直線GC的解析式為y=kx+b，
則有$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{2\sqrt{3}k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2．

（2）①m＞2時(shí)，如圖2中，Rt△GOC∽△Rt△GBA，

∵AB=1，OC=2，AG=m-2，
∴4+m²=（4-2m）²，
解得m=$\frac{8+2\sqrt{7}}{3}$或$\frac{8-2\sqrt{7}}{3}$（舍棄），
②0＜m＜2時(shí)，如圖3中，

同理可得m=$\frac{8-2\sqrt{7}}{3}$，
∴m=$\frac{8+2\sqrt{7}}{3}$或$\frac{8-2\sqrt{7}}{3}$．

（3）①當(dāng)OC=OB時(shí)，△OBA是等邊三角形時(shí)，△OBC是等腰三角形，此時(shí)B（1，$\sqrt{3}$），
②當(dāng)BC=OB時(shí)，易知B的縱坐標(biāo)為1，設(shè)橫坐標(biāo)為x，
則有1²+（2-x）²=2²，
解得x=2$±\sqrt{3}$，
∴B（2+$\sqrt{3}$，1）或（2-$\sqrt{3}，1$），
③當(dāng)CO=CB時(shí)，BC∥x軸，不符合題意．
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)B坐標(biāo)為（1，$\sqrt{3}$）或（2-$\sqrt{3}$，1）或（2+$\sqrt{3}$，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查一次函數(shù)綜合題、待定系數(shù)法、相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)構(gòu)建方程，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．