Question

16．如圖1，直線l：y=x-1與y軸交于點A，與雙曲線y=$\frac{6}{x}$（x＞0）在第一象限內交于點B，點P為點B上方的雙曲線上一動點．
（1）求點B的坐標；
（2）過點P作PM⊥y軸于點M，PN⊥AB于點N，若PM=$\sqrt{2}$PN，求點P的坐標．
（3）如圖2，若點A關于x軸的對稱點為點C，當點P運動時，直接寫出PA²+PC²的最小值．

Answer 1

分析 （1）聯(lián)立直線和雙曲線的解析式解方程組即可得出結論；
（2）先判斷出△PQN是等腰直角三角形，進而得出PQ=$\sqrt{2}$PN，即PM=PQ，設出點P的坐標，表示出PM，PQ，建立方程即可求解；
（3）先設出點P的坐標，進而用兩點間的距離公式求出PA²+PC²，再用m²+（$\frac{6}{m}$）²≥2•m•$\frac{6}{m}$確定出最小值．

解答 解：（1）∵直線l：y=x-1與y軸交于點A，與雙曲線y=$\frac{6}{x}$（x＞0）在第一象限內交于點B，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{y=\frac{6}{x}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-3}\end{array}\right.$（舍）或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴B（3，2）；

（2）∵直線l的解析式為y=x-1，
∴∠BAO=45°，
如圖，過點P作PQ∥y軸交AB于Q，
∴∠PQN=45°，
∵PN⊥AB，
∴PQ=$\sqrt{2}$PN，
∵PM=$\sqrt{2}$PN，
∴PM=PQ，
∵點P為點B上方的雙曲線y=$\frac{6}{x}$上一動點，
∴設P（m，$\frac{6}{m}$）（0＜m＜3），
∵PQ∥y軸，
點Q在直線AB上，
∴Q（m，m-1），
∴PM=m，PQ=$\frac{6}{m}$-（m-1）=$\frac{6}{m}$-m+1，
∴m=$\frac{6}{m}$-m+1，
∴m=-$\frac{3}{2}$（舍）或m=2，
∴P（2，3）；

（3）∵直線l：y=x-1與y軸交于點A，
∴A（0，-1），
∵點A關于x軸的對稱點為點C，
∴C（0，1），
∵點P為點B上方的雙曲線y=$\frac{6}{x}$上一動點，
∴設P（m，$\frac{6}{m}$）（0＜m＜3），
∴PA²+PC²=m²+（$\frac{6}{m}$+1）²+m²+（$\frac{6}{m}$-1）²
=2m²+$\frac{72}{{m}^{2}}$+2
=2（m²+$\frac{36}{{m}^{2}}$）+2
=2[m²+（$\frac{6}{m}$）²]+2，
∵m²+（$\frac{6}{m}$）²≥2×m×$\frac{6}{m}$=12（當且僅當m=$\frac{6}{m}$時，取等號，即m=-$\sqrt{6}$（舍）或m=$\sqrt{6}$）
∴PA²+PC²=2[m²+（$\frac{6}{m}$）²]+2≥2×12+2=26，
即：PA²+PC²的最小值為26．

點評 此題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了求兩函數(shù)的交點坐標的方法，等腰直角三角形的判定和性質，兩點間的距離公式，a²+b²≥2ab（當且僅當a=b時，取等號）解（1）的關鍵是聯(lián)立方程組求解，解（2）的關鍵是判斷出PM=PN，解（3）的關鍵是利用a²+b²≥2ab確定出最小值，是一道中等難度的題目．