Question

17．已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若BC=a，CA=b，AB=c，CD=h，設(shè)△ACD、△BCD與△ABC的內(nèi)切圓半徑分別為r₁，r₂，h，則下列結(jié)論：①$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$=$\frac{1}{h}$；②$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$=$\frac{1}{{h}^{2}}$；③r₁²+r₂²=r²；④r₁+r₂+r=h中，正確的結(jié)論有（　�。�

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 根據(jù)三角形的面積公式得到h=$\frac{ab}{c}$，由$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$=$\frac{a+b}{ab}$，$\frac{1}{h}$=$\frac{c}{ab}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}{ab}$，得到$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$≠$\frac{1}{h}$，①錯誤；②由于ab=ch，根據(jù)勾股定理得到$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$=$\frac{1}{{h}^{2}}$，②正確；③根據(jù)已知條件得到r=$\frac{1}{2}$（a+b-c），r₁=$\frac{1}{2}$（$\frac{ab}{c}$+$\frac{^{2}}{c}$-b）=$\frac{c}$r，r₂=$\frac{1}{2}$（$\frac{{a}^{2}}{c}$+$\frac{ab}{c}$-a）=$\frac{a}{c}$r，于是得到r₁²+r₂²=（$\frac{c}$r）²+（$\frac{a}{c}$r）²=r²；③正確；④根據(jù)③中的條件即可得到r₁+r₂+r=$\frac{a+b+c}{c}$r=$\frac{a+b+c}{c}$•$\frac{a+b-c}{2}$=$\frac{ab}{c}$=h，④正確．

解答 證明：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，
∴由三角形面積公式得：S_△ABC=$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}$ch，
∴ab=ch，
∴h=$\frac{ab}{c}$，
①∵$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$=$\frac{a+b}{ab}$，$\frac{1}{h}$=$\frac{c}{ab}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}{ab}$，
∵a+b=$\sqrt{（a+b）^{2}}$，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$≠$\frac{1}{h}$，①錯誤；
②∵ab=ch，
∴a²b²=c²h²，
∴$\frac{1}{{a}^{2}^{2}}$=$\frac{1}{{c}^{2}{h}^{2}}$，
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}^{2}}$=$\frac{1}{{h}^{2}}$
由勾股定理得：a²+b²=c²，
∴$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$=$\frac{^{2}+{a}^{2}}{{a}^{2}^{2}}$=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}^{2}}$，
∴$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$=$\frac{1}{{h}^{2}}$，②正確；
③∵△ACD、△BCD與△ABC的內(nèi)切圓半徑分別為r₁，r₂，r，
∴r=$\frac{1}{2}$（a+b-c），r₁=$\frac{1}{2}$（$\frac{ab}{c}$+$\frac{^{2}}{c}$-b）=$\frac{c}$r，r₂=$\frac{1}{2}$（$\frac{{a}^{2}}{c}$+$\frac{ab}{c}$-a）=$\frac{a}{c}$r，
∴r₁²+r₂²=（$\frac{c}$r）²+（$\frac{a}{c}$r）²=r²；③正確；
④r₁+r₂+r=$\frac{a+b+c}{c}$r=$\frac{a+b+c}{c}$•$\frac{a+b-c}{2}$=$\frac{ab}{c}$=h，④正確．

點評 本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，三角形的面積公式，勾股定理，熟練掌握三角形的內(nèi)心的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．