Question

7．如圖所示，已知兩條直線l₁：y=2x+7，l₂：y=2x+5，在l₂上任取一點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作直線l₁的垂線，垂足為B點(diǎn)，求AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 直線l₁與y軸交于點(diǎn)B，直線l₂與y軸交于點(diǎn)D，與x軸交于點(diǎn)C，作AB⊥l₁交l₂于A點(diǎn)，如圖，先利用坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到C（-$\frac{5}{2}$，0）、B（0，7）、D（0，5），則BD=2，在Rt△OCD中利用勾股定理計(jì)算出CD=$\frac{5\sqrt{5}}{2}$，再證明Rt△ABD∽R(shí)tODC，然后利用相似比可計(jì)算出AB．

解答 解：直線l₁與y軸交于點(diǎn)B，直線l₂與y軸交于點(diǎn)D，與x軸交于點(diǎn)C，作AB⊥l₁交l₂于A點(diǎn)，如圖，
當(dāng)y=0時(shí)，2x+5=0，解得x=-$\frac{5}{2}$，則C（-$\frac{5}{2}$，0）；
當(dāng)x=0時(shí)，y=2x+7=7，則B（0，7）；
當(dāng)x=0時(shí)，y=2x+5=5，則D（0，5），
所以BD=7-5=2，
在Rt△OCD中，∵OD=5，OC=$\frac{5}{2}$，
∴CD=$\sqrt{O{D}^{2}+O{C}^{2}}$=$\frac{5\sqrt{5}}{2}$，
∵∠ADB=∠ODC，
∴Rt△ABD∽R(shí)tODC，
∴$\frac{AB}{OC}$=$\frac{BD}{CD}$，即$\frac{AB}{\frac{5}{2}}$=$\frac{2}{\frac{5\sqrt{5}}{2}}$，
∴AB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了兩條直線相交或平行問(wèn)題：兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，就是由這兩條直線相對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)表達(dá)式所組成的二元一次方程組的解．若兩條直線是平行的關(guān)系，那么它們的自變量系數(shù)相同，即k值相同．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．