Question

16．已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（一1，0），點(diǎn)B在x軸正半軸上，點(diǎn)C在第一象限，邊AC與y軸交于點(diǎn)D．
（1）求B、C、D三點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）求圖象經(jīng)過B、C、D三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式．

Answer 1

分析 （1）過C作CE⊥ABxX軸于E點(diǎn)，可得出E的坐標(biāo)，A、B的坐標(biāo)，再由△ABC可求出CE的長(zhǎng)度，繼而可得出C的坐標(biāo)，然后根據(jù)比例關(guān)系可求出D點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）用待定系數(shù)法求解，設(shè)所求拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，將三點(diǎn)代入聯(lián)立求解可求出a、b、c的值，即得出函數(shù)解析式．

解答 解：（1）過C作CE⊥AB交x軸于E點(diǎn)，
∵△ABC是等邊三角形，AB=AC=BC=4，A（-1，0），
∴B（3，0），E（1，0），
∴AE=2．
在Rt△ACE中，CE=AC•sin60°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
∴C（1，2$\sqrt{3}$）．
∵CE∥DO，
∴$\frac{DO}{CE}$=$\frac{AO}{AE}$=$\frac{1}{2}$，
∴DO=$\sqrt{3}$，
∴D（0，$\sqrt{3}$）；

（2）設(shè)所求拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
由題意，得：$\left\{\begin{array}{l}{c=\sqrt{3}}\\{9a+3b+c=0}\\{a+b+c=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{2\sqrt{3}}{3}}\\{b=\frac{5\sqrt{3}}{3}}\\{c=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x²+$\frac{5\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，結(jié)合了等邊三角形的性質(zhì)，綜合性比較強(qiáng)，難度也很大．