Question

9．已知如圖1，P為正方形ABCD的邊BC上任意一點，BE⊥AP于點E，在AP的延長線上取點F，使EF=AE，連接BF，∠CBF的平分線交AF于點G．
（1）求證：BF=BC；
（2）求證：△BEG是等腰直角三角形；
（3）如圖2，若正方形ABCD的邊長為4，連接CG，當P點為BC的中點時，求CG的長．

Answer 1

分析 （1）利用線段的垂直平分線的性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)即可證明；
（2）想辦法證明∠F=∠BAF=∠EBP，由∠EBG=∠EBP+∠PBG，∠EGB=∠F+∠GBF，即可解決問題；
（3）求出BG，只要證明△EBP≌△GCP，即可推出CG=BE，由此即可解決問題；

解答 （1）證明：∵BE⊥AF，AE=EF，
∴BE是線段AF的垂直平分線，
∴AB=BF，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，
∴BF=BC．

（2）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠EBP=90°，
∵BE⊥AF，
∴∠ABE+∠BAP=90°，
∴∠BAP=∠EBP，
∵AB=BF，
∴∠BAP=∠BFP，
∴∠EBP=∠BFP，
∵∠CBF的平分線交AF于G，
∴∠CBG=∠FBG，
∴∠EBP+∠CBG=∠BFP+∠FBG，
∴∠EBG=∠EGB，
∵BE⊥AF，
∴△BEG是等腰直角三角形．

（3）解：∵P是BC中點，正方形的邊長為4，
∴AB=4，BP=CP=2，
在Rt△ABP中，AP=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵BE⊥AP，
∴S_△ABP=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{5}$×BE=$\frac{1}{2}$×4×2，
∴BE=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∵AB=BC，AB=BF，
∴BC=BF，
由（1）可知∠CBG=∠FBG，
∴BG=BG，
∴△CBG≌△FBC，
∴∠BFP=∠BCG，
由（2）可知∠EBP=∠BFP，
∴∠EBP=∠BCG，
∵∠EPB=∠CPG，
∴△EBP≌△GCP，
∴CG=BE=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、線段的垂直平分線的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考壓軸題．