Question

11．已知，點D是三角形ABC所在平面內(nèi)的任意一點，給出以下判斷：①若BD=DC，AD⊥BC，則AB=AC；②若∠BAD=∠CAD，BD=DC，則AB=AC；③若點D在線段BC上，當$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$時，∠BAD=∠CAD；④若點D在線段BC上，當AB=AC=3時，AD²+BD•DC為定值．其中正確的是（　�。�

• A． ①②
• B． ②③
• C． ①②④
• D． ①③④

Answer 1

分析 ①由等腰三角形三線合一得：∠BDE=∠CDE，證明△ABD≌△ACD，可得AB=AC；
②根據(jù)條件畫圖，如圖2，發(fā)現(xiàn)AB與AC不一定相等；
③如圖3，作輔助線，構(gòu)建平行線，根據(jù)平行線分線段成比例定理得：$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AF}$，可得AF=AC，由等邊對等角得∠F=∠ACF，由平行線的性質(zhì)得出結(jié)論：∠BAD=∠CAD；
④如圖4，作高線AE，根據(jù)勾股定理得：AB²=AE²+BE²，AD²=AE²+DE²，由等腰三角形三線合一得：BE=CE，將前兩式相減后變形可得結(jié)論．

解答 解：①如圖1，∵延長AD交BC于E，則AE⊥BC，
∵BD=DC，
∴∠BDE=∠CDE，
∴∠ADB=∠ADC，
在△ABD和△ACD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{∠ADB=∠ADC}\\{BD=CD}\\{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
∴AB=AC，
所以①正確；
②如圖2，若∠BAD=∠CAD，BD=DC，但AB≠AC，
所以②不正確；
③過C作CF∥AD，交BA的延長線于點F，
∴$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AF}$，
∵$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}$，
∵AF=AC，
∴∠F=∠ACF，
∵AD∥CF，
∴∠BAD=∠F，∠CAD=∠ACF，
∴∠BAD=∠CAD；
所以③正確；
④如圖4，作AE⊥BC于E，則AB²=AE²+BE²，AD²=AE²+DE²，
∵AB=AC，
∴BE=CE，
則AB²-AD²=（AE²+BE²）-（AE²+DE²）=BE²-DE²=（BE+DE）（BE-DE）=BD•DC，
則AD²+BD•DC=AB²=3²=9．
所以當AB=AC=3時，AD²+BD•DC為定值．
所以④正確；
所以，其中正確的是：①③④；
故選D．

點評 本題考查了三角形全等的性質(zhì)和判定、平行線分線段成比例定理、等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理，問題③有難度，輔助線的作出是關鍵，問題4，利用勾股定理列式后，變形可解決問題．