Question

17．如圖，在一斜坡坡頂A處的同一水平線上有一古塔，為測(cè)量塔高BC，數(shù)學(xué)老師帶領(lǐng)同學(xué)在坡腳P處測(cè)得斜坡的坡角為α，且tanα=$\frac{7}{24}$，塔頂C處的仰角為30°，他們沿著斜坡攀行了50米，到達(dá)坡頂A處，在A處測(cè)得塔頂C的仰角為60°．
（1）求斜坡的高度AD；
（2）求塔高BC．

Answer 1

分析 （1）在Rt△APD中，根據(jù)tanα的值設(shè)AD=7k，PD=24k，利用勾股定理表示出AP，根據(jù)AP=50，求出k的值，繼而可求得AD的長(zhǎng)度；
（2）延長(zhǎng)CB交PO于點(diǎn)E，設(shè)塔高為x，在Rt△CBA中，求出AB的長(zhǎng)度，然后在Rt△PCE中，根據(jù)∠CPE=30°，利用三角函數(shù)求解．

解答 解：（1）在Rt△APD中，
∵tanα=$\frac{7}{24}$，
∴設(shè)AD=7k，PD=24k，
∴PA=$\sqrt{（7k）^{2}+（24k）^{2}}$=25k，
∵PA=50，
∴AD=APsinα=50×$\frac{7}{25}$=14（m）；
（2）延長(zhǎng)CB交PO于點(diǎn)E，可得四邊形ABED為矩形，
設(shè)塔高為x，
在Rt△CBA中，
∵∠CAB=60°，tan60°=$\frac{BC}{AB}$，
∴AB=$\frac{x}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
在Rt△CPE中，
∵∠CPE=30°，
∴$\frac{CE}{PE}$=tan30°，
即$\frac{x+14}{48+\frac{\sqrt{3}}{3}x}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
解得：x=24$\sqrt{3}$-21，
答：塔的高度為（24$\sqrt{3}$-21）米．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)坡度和仰角構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)的知識(shí)解直角三角形．