Question

9．如圖，AB和CD分別是⊙O上的兩條弦，圓心O到它們的距離分別是OM和ON，如果AB=CD，求證：OM=ON．

Answer 1

分析 連接OA、OC，根據(jù)垂徑定理求出CD=2CN，AB=2AM，求出CN=AM，根據(jù)HL證Rt△ONC≌Rt△OMA，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出即可．

解答 證明：如圖，連接OC、OA，則OC=OA，

∵圓心O到它們的距離分別是OM和ON，
∴∠ONC=∠OMA=90°，CD=2CN，AB=2AM，
∵AB=CD，
∴CN=AM，
在Rt△ONC和Rt△OMA中，
$\left\{\begin{array}{l}{OC=OA}\\{CN=AM}\end{array}\right.$，
∴Rt△ONC≌Rt△OMA（HL），
∴OM=ON．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了垂徑定理，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，題目比較典型，難度不大．