Question

8．在平面直角坐標系中，邊長為2的正方形OABC的兩頂點A、C分別在y軸、x軸的正半軸上，點O在原點．現(xiàn)將正方形OABC繞O點順時針旋轉(zhuǎn)，當A點第一次落在第一象限的角平分線OD上時停止旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，AB邊交OD于點M，BC邊交x軸于點N，AC與OD相交于點E，與x軸相交于點F．（如圖）．
（1）試探究在旋轉(zhuǎn)的過程中AM、MN、CN三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你探究的結(jié)論．
（2）在旋轉(zhuǎn)正方形OABC的過程中，若AE=CF，試求此時EF的長．

Answer 1

分析 （1）延長NC至G，使CG=AM，連接OG，先證△OAM≌△OCG，再證△MON≌△GON即可；
（2）由所給條件證明AO=AF，再依次算出AC，CF、EF．

解答 解：（1）MN=AM+CN，理由如下：
延長NC至G，使CG=AM，連接OG，如圖，

∵四邊形AOCB是正方形，
∴OA=OC，∠OAM=∠OCG=∠AOC=90°，
在△OAM和△OCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OC}\\{∠OAM=∠OCG}\\{AM=CG}\end{array}\right.$，
∴△OAM≌△OCG（SAS），
∴OM=OG，∠AOM=∠COG，
∴∠AOC=∠MOG=90°，
∵OD平分∠AOC，
∴∠MON=∠GON=45°，
在△MON和△GON中，
$\left\{\begin{array}{l}{OM=OG}\\{∠MON=∠GON}\\{ON=ON}\end{array}\right.$，
∴△MON≌△GON（SAS），
∴MN=GN，
∵NG=NC+CG，
∴MN=AM+AN；
（2）如圖，

∵四邊形AOCB為正方形，
∴OA=OC，∠AOC=90°，∠OAC=∠OCA=45°，
在△OAE和△OCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OC}\\{∠OAE=∠OCF}\\{AE=CF}\end{array}\right.$，
∴△OAE≌△OCF（SAS），
∴OE=OF，
∵∠EOF=45°，
∴∠OEF=∠OFE=67.5°，
∴∠AOF=∠AFO=67.5°，
∵OA=AF=2，
∵AC=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}=2\sqrt{2}$，
∴CF=AE=$2\sqrt{2}-2$，
∴EF=$2\sqrt{2}-2（2\sqrt{2}-2）=4-2\sqrt{2}$．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、旋轉(zhuǎn)變換等知識點，難度適中．本題是經(jīng)典的“大角夾半角”模型，旋轉(zhuǎn)補短、構(gòu)造全等三角形是基本手段，務必掌握．