Question

11．探索研究：已知：△ABC和△CDE都是等邊三角形．
（1）如圖1，若點A、C、E在一條直線上時，我們可以得到結(jié)論：線段AD與BE的數(shù)量關(guān)系為：相等，
線段AD與BE所成的銳角度數(shù)為60°；
（2）如圖2，當(dāng)點A、C、E不在一條直線上時，請證明（1）中的結(jié)論仍然成立；
靈活運用：
如圖3，某廣場是一個四邊形區(qū)域ABCD，現(xiàn)測得：AB=60m，BC=80m，且∠ABC=30°，∠DAC=∠DCA=60°，試求水池兩旁B、D兩點之間的距離．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，然后求出∠ACD=∠BCE，再利用“邊角邊”證明△ACD和△BCE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AD=BE，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠ADC=∠BEC，然后根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出∠DPE=∠DCE；
（2）證明△ACD≌△BCE（SAS），得到AD=BE，∠DAC=∠EBC，根據(jù)∠BPA=180°-∠ABP-∠BAP=180°-∠ABC-∠BAC，即可解答．
（3）如圖3，以AB為邊在△ABC外側(cè)作等邊△ABE，連接CE，由（2）可得：BD=CE，證明△EBC是直角三角形，利用勾股定理求出CE的長度，即可解答．

解答 解：（1）如圖1，

∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，
即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC，
由三角形的外角性質(zhì)，∠DPE=∠PEA+∠DAC，
∠DCE=∠ADC+∠DAC，
∴∠DPE=∠DCE=60°；
故答案為：相等，60；
（2）如圖2，

∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，
即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，∠DAC=∠EBC，
∴∠BPA=180°-∠ABP-∠BAP=180°-∠ABC-∠BAC=60°．
（3）如圖3，以AB為邊在△ABC外側(cè)作等邊△ABE，連接CE．

由（2）可得：BD=CE
∴∠EBC=60°+30°=90°，
∴△EBC是直角三角形
∵EB=60m  BC=80m，
∴CE=$\sqrt{B{E}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{6{0}^{2}+8{0}^{2}}$=100（m）．
∴水池兩旁B、D兩點之間的距離為100m．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，熟記性質(zhì)與判定方法是解題的關(guān)鍵，難點在于（靈活運用）作出輔助線構(gòu)造成等邊三角形和直角三角形．