Question

9．已知：如圖，在正方形ABCD中，M為△ACB內(nèi)一點(diǎn)，以AM為折痕將AC折疊過(guò)來(lái)得到線段AE，恰好使BE⊥CE，連接BM，AE與BM交于點(diǎn)N．
（1）判斷AM與CE的位置關(guān)系并證明；
（2）求證：AC²=10BE²；
（3）當(dāng)∠BNE=45°時(shí)，連EM交BC于點(diǎn)P，則$\frac{BP}{CP}$的值是$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 （1）結(jié)論：AM⊥CE，由折疊的性質(zhì)可知：AE=AC，∠EAM=∠CAM，所以△ACE是等腰三角形，利用三線合一即可證明．
（2）延長(zhǎng)AM交CE于點(diǎn)G，則AG⊥CE，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥EB交EB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．先證明四邊形AHEG是矩形，再證明△AHB≌△BEC，推出EB=AH=EG=CG，由此即可解決問(wèn)題．
（3）設(shè)AG與BC交于點(diǎn)K．由（2）可知，GK∥EB，GC=GE，推出CK=KB，設(shè)EB=a，則CE=2a，BC=AB=$\sqrt{5}$a，在Rt△ABK中，由∠ABK=90°，BK=$\frac{\sqrt{5}}{2}$a，AB=$\sqrt{5}$a，推出AK=$\sqrt{B{K}^{2}+A{B}^{2}}$=$\frac{5}{2}$a，由EB∥AK，推出$\frac{PB}{PK}$=$\frac{EB}{AK}$=$\frac{a}{\frac{5}{2}a}$=$\frac{2}{5}$，設(shè)PB=2k，PK=5k，則PC=CK+PK=7k+5k=12k，由此即可解決問(wèn)題．

解答 （1）解：結(jié)論：AM⊥CE，理由如下：
由折疊的性質(zhì)可知：AE=AC，∠EAM=∠CAM．
∴△ACE是等腰三角形，AM平分∠CAE．
∴AM⊥CE．

（2）證明：延長(zhǎng)AM交CE于點(diǎn)G，則AG⊥CE 過(guò)點(diǎn)A作AH⊥EB交EB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．
∵AE=AC，
∴CG=EG．∵BE⊥CE，
∴∠AGE=∠GEH=∠H=90°，
∴四邊形AGEH是矩形，
∴EG=AH．，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，AC²=2BC²，
∵∠ABH+∠CBE=90°，∠CBE+∠BCE=90°，
∴∠ABH=∠BCE（同角的余角相等）．
∵∠AHB=∠BEC=90°，
∴△AHB≌△BEC（AAS），
∴AH=BE．
∴EG=AH=BE=CG，
∴CE=2BE．
∵BC²=BE²+CE²=5BE²，AC²=2BC²．
∴AC²=10BE²．

（3）設(shè)AG與BC交于點(diǎn)K．
由（2）可知，GK∥EB，GC=GE，
∴CK=KB，設(shè)EB=a，則CE=2a，BC=AB=$\sqrt{5}$a，
在Rt△ABK中，∵∠ABK=90°，BK=$\frac{\sqrt{5}}{2}$a，AB=$\sqrt{5}$a，
∴AK=$\sqrt{B{K}^{2}+A{B}^{2}}$=$\frac{5}{2}$a，
∵EB∥AK，
∴$\frac{PB}{PK}$=$\frac{EB}{AK}$=$\frac{a}{\frac{5}{2}a}$=$\frac{2}{5}$，設(shè)PB=2k，PK=5k，則PC=CK+PK=7k+5k=12k，
∴$\frac{PB}{PC}$=$\frac{2k}{12k}$=$\frac{1}{6}$，
故答案為$\frac{1}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四邊形綜合題、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線等分線段定理，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問(wèn)題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中考?jí)狠S題．