Question

2．如圖，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=16cm，DE=4cm．線段DE（端點(diǎn)D從點(diǎn)B開(kāi)始）沿BC邊以1cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)端點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．過(guò)點(diǎn)E作EF∥AC交AB于點(diǎn)F，連接DF，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（t≥0）．
（1）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△DEF能否為以DE為腰的等腰三角形？若能，請(qǐng)求出t的值；若不能，試說(shuō)明理由．
（2）以E為圓心，EF長(zhǎng)為半徑作圓，請(qǐng)問(wèn)：在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，t為怎樣的值時(shí)，⊙E與邊AC有1個(gè)公共點(diǎn)？
（3）設(shè)M、N分別是DF、EF的中點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段MN所掃過(guò)的圖形的面積．

Answer 1

分析 （1）分三種情況討論：①當(dāng)DF=EF時(shí)，②當(dāng)DE=EF時(shí)，③當(dāng)DE=DF時(shí)，利用等腰三角形的性質(zhì)與相似三角形的判定與性質(zhì)，即可求得答案；
（2）過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AC于H，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC于G，根據(jù)三角形相似即可求得結(jié)果．
（3）首先設(shè)P是AC的中點(diǎn)，連接BP，可證得點(diǎn)B，N，P共線，即可得點(diǎn)N沿直線BP運(yùn)動(dòng)，MN也隨之平移，設(shè)MN從ST位置運(yùn)動(dòng)到PQ位置，則四邊形PQST是平行四邊形，然后求得?PQST的面積即為MN所掃過(guò)的面積．

解答 解：（1）∵BD=tcm，DE=4cm，
∴BE=BD+DE=（t+4）cm，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BCA，
∴EF：CA=BE：BC，
即EF：10=（t+4）：16，
解得：EF=$\frac{5}{8}$（t+4）（cm）；
分三種情況討論：
①如圖1，∵當(dāng)DF=EF時(shí)，
∴∠EDF=∠DEF，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵EF∥AC，
∴∠DEF=∠C，
∴∠EDF=∠B，
∴點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，
∴t=0；
②如圖2，當(dāng)DE=EF時(shí)，
則4=$\frac{5}{8}$（t+4），
解得：t=$\frac{12}{5}$；
③如圖3，∵當(dāng)DE=DF時(shí)，有∠DFE=∠DEF=∠B=∠C，
∴△DEF∽△ABC．
∴$\frac{DE}{AB}$=$\frac{EF}{BC}$，
即 $\frac{4}{10}$=$\frac{\frac{5}{8}（t+4）}{16}$，
解得：t=$\frac{156}{25}$；
綜上所述，當(dāng)t=0、$\frac{12}{5}$或 $\frac{156}{25}$秒時(shí)，△DEF為等腰三角形；

（2）如圖4，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AC于H，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC于G，
∵⊙E與邊AC有1個(gè)公共點(diǎn)，
∴⊙E與AC相切，
∴EH=EF，
由（1）求得BE=（t+4），EF=$\frac{5}{8}$（t+4），
∴EH═$\frac{5}{8}$（t+4），CE=12-t，
∵AB=AC=10，BC=16，
∴AG=6，
∵∠C=∠C，∠AGC=∠EHC=90°，
∴△AGC△EHC，
∴$\frac{AC}{CE}$=$\frac{AG}{EH}$，
∴$\frac{10}{12-t}$=$\frac{6}{\frac{5}{8}（t+4）}$，
∴t=$\frac{188}{49}$，
∴t為$\frac{188}{49}$時(shí)，⊙E與邊AC有1個(gè)公共點(diǎn)；

（3）如圖5，設(shè)P是AC的中點(diǎn)，連接BP，
∵EF∥AC，
∴△FBE∽△ABC．
∴$\frac{EF}{AC}$ $\frac{BE}{BC}$=，
∴$\frac{EN}{CP}$=$\frac{BE}{BC}$．
又∵∠BEN=∠C，
∴△NBE∽△PBC，
∴∠NBE=∠PBC．
∴點(diǎn)B，N，P共線，
∴點(diǎn)N沿直線BP運(yùn)動(dòng)，MN也隨之平移．
如圖6，設(shè)MN從ST位置運(yùn)動(dòng)到PQ位置，則四邊形PQST是平行四邊形．
∵M(jìn)、N分別是DF、EF的中點(diǎn)，
∴MN∥DE，且ST=MN=$\frac{1}{2}$DE=2．
分別過(guò)點(diǎn)T、P作TK⊥BC，垂足為K，PL⊥BC，垂足為L(zhǎng)，延長(zhǎng)ST交PL于點(diǎn)R，則四邊形TKLR是矩形，
∵當(dāng)t=0時(shí)，EF=$\frac{5}{8}$（0+4）=$\frac{5}{2}$，TK=$\frac{1}{2}$EFsin∠DEF=$\frac{1}{2}$$•\frac{5}{2}$$•\frac{3}{2}$=$\frac{15}{8}$，
當(dāng)t=12時(shí)，EF=AC=10，PL=$\frac{1}{2}$AC•sin∠C=$\frac{1}{2}$•10•$\frac{3}{5}$=3，
∴PR=PL-RL=PL-TK=3-$\frac{15}{8}$=$\frac{9}{8}$，
∴S_{平行四邊形PQST}=ST•PR=2×$\frac{9}{8}$=$\frac{9}{4}$，
∴整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，MN所掃過(guò)的面積為$\frac{9}{4}$cm²．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)以及矩形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，注意掌握分類(lèi)討論思想、方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意掌握輔助線的作法．