Question

3．如圖，拋物線y=-x²+5x+n經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），與y軸交于點(diǎn)B．
（1）求拋物線的解析式；
（2）P是y軸上一點(diǎn)，且△PAB是以AB為腰的等腰三角形，試求P點(diǎn)坐標(biāo)．
（3）將拋物線y=-x²+5x+n沿著坐標(biāo)軸方向經(jīng)過怎樣的一次平移可以使它使它經(jīng)過原點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）將A點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線中，即可得出二次函數(shù)的解析式．
（2）本題要分兩種情況進(jìn)行討論：
①PA=AB，先根據(jù)拋物線的解析式求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得出OB的長，進(jìn)而可求出AB的長，也就知道了PB的長，由此可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；
②PB=AB，此時(shí)P與A關(guān)于y軸對稱，由此可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）觀察圖象結(jié)合解析式寫出答案即可．

解答 解：（1）∵拋物線y=-x²+5x+n經(jīng)過點(diǎn)A（1，0）
∴n=-4
∴y=-x²+5x-4；

（2）∵拋物線的解析式為y=-x²+5x-4，
∴令x=0，則y=-4，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)（0，-4），AB=$\sqrt{17}$，
①當(dāng)PA=AB時(shí)，PA=AB，則有OB=OP
此時(shí)P（0，4）
②當(dāng)PB=AB時(shí)，|PB|=$\sqrt{17}$，
故P（0，$\sqrt{17}-4$）；P（0，-$\sqrt{17}-4$）
③P為頂點(diǎn)時(shí)，PA=PB，點(diǎn)P在AB的垂直平分線與y軸交點(diǎn)處（0，-$\frac{15}{8}$）
因此P點(diǎn)的坐標(biāo)為P（0，4）；P（0，$\sqrt{17}-4$）；P（0，-$\sqrt{17}-4$）；P（0，-$\frac{15}{8}$）

（3）將拋物線y=-x²+5x-4沿著坐標(biāo)軸方向向左平移1個(gè)，或向左平移4個(gè)，或向上平移4個(gè)均平移可以使它使它經(jīng)過原點(diǎn)．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)解析式的確定、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，主要考查學(xué)生分類討論、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．