Question

18．如圖，已知CA=CB，∠ACB=90°，∠CBD=30°，CD∥AB．
（1）將線段CD繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到CE處，請(qǐng)?jiān)趫D中完成作圖；
（2）在（1）中，連EB，求∠CEB的度數(shù)；
（3）求$\frac{BD}{AD}$的值．

Answer 1

分析 （1）如圖，作CE⊥CD且CE=CD；
（2）延長BC交DE于H，如圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠CAB=∠CBA=45°，則∠1=45°-∠3=15°，再利用平行線的性質(zhì)得∠2=∠1=15°，接著根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CD=CE，∠DCE=90°，則∠CDE=∠CED=45°，易得∠BDH=60°，∠BHD=90°，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得DH=EH，于是利用線段垂直平分線的性質(zhì)得BD=BE，則可判斷△BDE為等邊三角形，得到∠BED=60°，于是得到∠CEB=15°；
（3）作AF⊥CD于F，如圖，設(shè)CH=DH=HE=a，則CD=$\sqrt{2}$a，在Rt△BDH中，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得BD=2DH=2a，BH=$\sqrt{3}$DH=$\sqrt{3}$a，則BC=AC=（$\sqrt{3}$-1）a，在等腰直角△ACF中，AF=CF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$a，所以DF=CD-CF=$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$a，于是在Rt△ADF中，利用勾股定理可計(jì)算出AD=（$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$）a，所以$\frac{BD}{AD}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$．

解答 解：（1）如圖1，CE為所作；

（2）延長BC交DE于H，如圖2，

∵CA=CB，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∴∠1=45°-∠3=15°，
∵CD∥AB，
∴∠2=∠1=15°，
∵線段CD繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到CE處，
∴CD=CE，∠DCE=90°，
∴∠CDE=∠CED=45°，
∴∠BDH=∠2+∠CDH=60°
∴∠BHD=90°，
∴CH⊥DE，
∴DH=EH，
∴BD=BE，
而∠BDE=60°，
∴△BDE為等邊三角形，
∴∠BED=60°，
∴∠CEB=60°-45°=15°；
（3）作AF⊥CD于F，如圖3，設(shè)CH=DH=HE=a，則CD=$\sqrt{2}$a，

在Rt△BDH中，BD=2DH=2a，BH=$\sqrt{3}$DH=$\sqrt{3}$a，
∴BC=$\sqrt{3}$a-a=（$\sqrt{3}$-1）a，
∴AC=（$\sqrt{3}$-1）a，
∵∠4=∠CAB=45°，
在Rt△ACF中，AF=CF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$•（$\sqrt{3}$-1）a=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$a，
DF=CD-CF=$\sqrt{2}$a-$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$a=$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$a，
在Rt△ADF中，AD=$\sqrt{A{F}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}a）^{2}+（\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}a）^{2}}$=$\sqrt{（8-4\sqrt{3}）{a}^{2}}$=（$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$）a，
∴$\frac{BD}{AD}$=$\frac{2a}{（\sqrt{6}-\sqrt{2}）a}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了作圖-旋轉(zhuǎn)變換：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對(duì)應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．本題的關(guān)鍵是證明BC與DE垂直，從而找到CD和BC的數(shù)量關(guān)系．