Question

6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，圓M經(jīng)過原點(diǎn)O，且與x軸、y軸分別相交于A（-8，0），B（0，-6）兩點(diǎn)．
（1）求出直線AB的函數(shù)解析式；
（2）若有一拋物線的對(duì)稱軸平行于y軸且經(jīng)過點(diǎn)M，頂點(diǎn)C在圓M上，開口向下，且經(jīng)過點(diǎn)B，求此拋物線的函數(shù)解析式；
（3）設(shè)（2）中的拋物線交x軸于D、E兩點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得S_△PDE=$\frac{1}{10}$S_△ABC？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法可求出直線AB的解析式；
（2）先利用勾股定理計(jì)算出AB=10，再根據(jù)圓周角定理得到AB為⊙M的直徑，則點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，M（-4，-3），則可確定C（-4，2），然后利用頂點(diǎn)式求出拋物線解析式；
（3）通過解方程-$\frac{1}{2}$（x+4）²+2=0得到D（-6，0），E（-2，0），利用S_△ABC=S_△ACM+S_△BCM，可求出S_△ABC=10，設(shè)P（t，-$\frac{1}{2}$t²-4t-6），所以$\frac{1}{2}$•（-2+6）•|-$\frac{1}{2}$t²-4t-6|=$\frac{1}{10}$•20，然后解絕對(duì)值方程求出t即可得到P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為y=kx+b，
把A（-8，0），B（0，-6）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-8k+b=0}\\{b=-6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=-6}\end{array}\right.$，
所以直線AB的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x-6；
（2）在Rt△AOB中，AB=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵∠AOB=90°，
∴AB為⊙M的直徑，
∴點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，M（-4，-3），
∵M(jìn)C∥y軸，MC=5，
∴C（-4，2），
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+4）²+2，
把B（0，-6）代入得16a+2=-6，解得a=-$\frac{1}{2}$，
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$（x+4）²+2，即y=-$\frac{1}{2}$x²-4x-6；
（3）存在．
當(dāng)y=0時(shí)，-$\frac{1}{2}$（x+4）²+2=0，解得x₁=-2，x₂=-4，
∴D（-6，0），E（-2，0），
S_△ABC=S_△ACM+S_△BCM=$\frac{1}{2}$•8•CM=20，
設(shè)P（t，-$\frac{1}{2}$t²-4t-6），
∵S_△PDE=$\frac{1}{10}$S_△ABC，
∴$\frac{1}{2}$•（-2+6）•|-$\frac{1}{2}$t²-4t-6|=$\frac{1}{10}$•20，
即|-$\frac{1}{2}$t²-4t-6|=1，
當(dāng)-$\frac{1}{2}$t²-4t-6=1，解得t₁=-4+$\sqrt{6}$，t₂=-4-$\sqrt{6}$，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（-4+$\sqrt{6}$，1）或（-4-$\sqrt{6}$，1）
當(dāng)-$\frac{1}{2}$t²-4t-6=-1，解得t₁=-4+$\sqrt{2}$，t₂=-4-$\sqrt{2}$；此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（-4+$\sqrt{2}$，-1）或（-4-$\sqrt{2}$，-1）
綜上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為（-4+$\sqrt{6}$，1）或（-4-$\sqrt{6}$，1）或（-4+$\sqrt{2}$，-1）或（-4-$\sqrt{2}$，-1）時(shí)，使得S_△PDE=$\frac{1}{10}$S_△ABC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和圓周角定理；會(huì)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；會(huì)解一元二次方程；記住三角形面積公式．