Question

8．觀察下列算式，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？
1³=$\frac{1×4}{4}$；1³+2³=$\frac{4×9}{4}$，1³+2³+3³=$\frac{9×16}{4}$；1³+2³+3³+4³=$\frac{16×25}{4}$；…
（1）根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，計(jì)算下面算式的值：1³+2³+3³+4³+5³；
（2）請(qǐng)用一個(gè)含n的算式表示這個(gè)規(guī)律：1³+2³+3³+…+n³=$\frac{{n}^{2}（n+1）^{2}}{4}$．

Answer 1

分析 （1）幾個(gè)連續(xù)自然數(shù)的立方和其結(jié)果分母都為4，如果等號(hào)左邊有1個(gè)加數(shù)，那么分子中的第一個(gè)因數(shù)為1²，第二個(gè)因數(shù)為2²，如果等號(hào)左邊有2個(gè)加數(shù)，那么分子中的第一個(gè)因數(shù)為2²，第二個(gè)因數(shù)為3²，如果等號(hào)左邊有n個(gè)加數(shù)，那么分子中的第一個(gè)因數(shù)為n²，第二個(gè)因數(shù)為（n+1）²；分母始終為4．
（2）根據(jù)規(guī)律得到：1³+2³+3³+…+n³=$\frac{{n}^{2}（n+1）^{2}}{4}$．

解答 解：（1）根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，計(jì)算下面算式的值：1³+2³+3³+…+5³=$\frac{25×36}{4}$；
（2）根據(jù)規(guī)律：1³+2³+3³+…+n³=$\frac{{n}^{2}（n+1）^{2}}{4}$．
故答案為：$\frac{{n}^{2}（n+1）^{2}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解決此類探究性問題，關(guān)鍵在觀察、分析已知數(shù)據(jù)，尋找它們之間的相互聯(lián)系，探尋其規(guī)律．