Question

19．如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°到正方形AB′C′D′，圖中陰影部分的面積為（　�。�

• A． 2
• B． $\frac{3\sqrt{3}}{2}$
• C． 4-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$
• D． 4-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$

Answer 1

分析 設(shè)B′C′與CD的交點(diǎn)為E，連接AE，利用“HL”證明Rt△AB′E和Rt△ADE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等∠DAE=∠B′AE，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)角求出∠DAB′=60°，然后求出∠DAE=30°，再解直角三角形求出DE，然后根據(jù)陰影部分的面積=正方形ABCD的面積-四邊形ADEB′的面積，列式計(jì)算即可得解．

解答 解：如圖，設(shè)B′C′與CD的交點(diǎn)為E，連接AE，

在Rt△AB′E和Rt△ADE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AE=AE}\\{AB′=AD}\end{array}\right.$，
∴Rt△AB′E≌Rt△ADE（HL），
∴∠DAE=∠B′AE，
∵旋轉(zhuǎn)角為30°，
∴∠DAB′=60°，
∴∠DAE=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
∴DE=2×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴陰影部分的面積=2×2-2×（$\frac{1}{2}$×2×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）=4-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形判定與性質(zhì)，解直角三角形，利用全等三角形求出∠DAE=∠B′AE，從而求出∠DAE=30°是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．