Question

3．如圖，正方形ABCD中，AB=a（單位：cm），點E、M分別是線段AC，CD上的動點，連結(jié)DE并延長交正方形的邊于點F，過點M作MN⊥DF于H，交AD于N．點M從點C出發(fā)，以1cm/s的速度沿CD向點D運動，點E從點A出發(fā)，以$\sqrt{2}$cm/s速度沿AC向點C運動，運動時間為t（t＞0）；下列判斷正確的是（　�。�
①當(dāng)M不動，E運動時，DF=MN；
②當(dāng)M，E同時出發(fā)時，且AF=BF時，點M是邊CD的三等分點；
③當(dāng)M，E同時出發(fā)時，且$\frac{AF}{AB}$=$\frac{1}{m}$，則$\frac{CM}{CD}$=$\frac{1}{m+1}$；
④當(dāng)M，E同時出發(fā)后，t=a或t=$\frac{1}{2}$a時，△MNF為等腰三角形．

• A． ①②④
• B． ①③
• C． ①②③
• D． ①②③④

Answer 1

分析 ①證明△ADF≌△DNC，即可得到DF=MN；
②首先證明△AFE∽△CDE，利用比例式求出時間t=$\frac{1}{3}$a，進(jìn)而得到CM=$\frac{1}{3}$a=$\frac{1}{3}$CD；
③由△AFE∽△CDE，列比例式$\frac{AF}{CD}=\frac{AE}{EC}$=$\frac{1}{m}$，得到a=mt+t，代入$\frac{CM}{CD}=\frac{t}{a}=\frac{t}{mt+t}=\frac{1}{m+1}$．
④若△MNF為等腰三角形，則可能有三種情形，需要分類討論．

解答 解：①當(dāng)M不動，E運動時，M與C重合，如圖1，
∵∠DNC+∠ADF=90°，∠DNC+∠DCN=90°，
∴∠ADF=∠DCN，
在△ADF與△DNC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAF=∠CDN=90°}\\{AD=CD}\\{∠ADF=∠DCN}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△DNC（ASA），
∴DF=MN；
故選項①正確；
②如圖2，當(dāng)點F是邊AB中點時，則AF=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$CD
∵AB∥CD，∴△AFE∽△CDE，
∴$\frac{AE}{EC}=\frac{AF}{CD}$=$\frac{1}{2}$，
∴AE=$\frac{1}{2}$EC，則AE=$\frac{1}{3}$AC=$\frac{\sqrt{2}}{3}$a，
∴t=$\frac{AE}{\sqrt{2}}$=$\frac{1}{3}$a．
則CM=1•t=$\frac{1}{3}$a=$\frac{1}{3}$CD，
∴點M為邊CD的三等分點．
故選項②正確；
③∵△AFE∽△CDE
∴$\frac{AF}{CD}=\frac{AE}{EC}$=$\frac{1}{m}$，
∴$\frac{\sqrt{2}t}{\sqrt{2}a-\sqrt{2}t}=\frac{1}{m}$
解得：a=mt+t，
∴$\frac{CM}{CD}=\frac{t}{a}=\frac{t}{mt+t}=\frac{1}{m+1}$
故選項③正確；
④∵△AFE∽△CDE，
∴$\frac{AF}{CD}=\frac{AE}{EC}$，即$\frac{AF}{a}=\frac{\sqrt{2}t}{\sqrt{2}a-\sqrt{2}t}$，得AF=$\frac{at}{a-t}$．
易證△MND∽△DFA，
∴$\frac{ND}{AF}=\frac{DM}{AD}$，即$\frac{ND}{\frac{at}{a-t}}=\frac{a-t}{a}$，得ND=t．
∴ND=CM=t，AN=DM=a-t．
若△MNF為等腰三角形，則可能有三種情形：
（I）若FN=MN，則由AN=DM知△FAN≌△NDM，
∴AF=ND，即 AF=$\frac{at}{a-t}$=t，得t=0，不合題意．
∴此種情形不存在；
（II）若FN=FM，由MN⊥DF知，HN=HM，∴DN=DM=MC，
∴t=$\frac{1}{2}$a，此時點F與點B重合；
（III）若FM=MN，顯然此時點F在BC邊上，如圖③所示：
∵AN=DM，AD=CD，
∴ND=CM，
∵$\left\{\begin{array}{l}{ND=CM}\\{FM=MN}\end{array}\right.$，
∴△MFC≌△NMD，∴FC=DM=a-t；
又由△NDM∽△DCF，
∴$\frac{DN}{DM}=\frac{DC}{FC}$，即 $\frac{t}{a-t}=\frac{a}{FC}$，∴FC=$\frac{a（a-t）}{t}$．

∴$\frac{a（a-t）}{t}$=a-t，
∴t=a，此時點F與點C重合．
綜上所述，當(dāng)t=a或t=$\frac{1}{2}$a時，△MNF能夠成為等腰三角形
故選項④正確；
所以①②③④都正確．
故選：D．

點評 本題是運動型幾何綜合題，考查了相似三角形、全等三角形、正方形、等腰三角形、命題證明等知識點．解題要點是：（1）明確動點的運動過程；（2）明確運動過程中，各組成線段、三角形之間的關(guān)系；（3）運用分類討論的數(shù)學(xué)思想，避免漏解．