Question

8．如圖1，△ABC為等邊三角形，AB=6，在直角三角板DEF中∠F=90°，∠FDE=60°，點(diǎn)D在邊BC上運(yùn)動(dòng)，邊DF始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，DE交AC于點(diǎn)G．
（1）求證：△ABD∽△DCG；
（2）設(shè)BD=x，若CG=$\frac{5}{6}$，求x的值；
（3）如圖2，當(dāng)D運(yùn)動(dòng)到BC中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P為線段AD上一動(dòng)點(diǎn)，連接CP，將線段CP繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到
CP′，連接BP′，DP′，①求∠CBP′的度數(shù)；②求DP′的最小值．

Answer 1

分析 （1）①利用三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，得到∠BAD=∠CDG，再利用兩角相等的三角形相似求解．
（2）利用前面所得的三角形相似，由對(duì)應(yīng)邊成比例，可求得x的值．
（3）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)前后的圖形對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角相等，可證得△ACP≌△BCP′，從而∠CAP=∠CBP′，然后根據(jù)等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)，得到∠CBP′=30°．
②根據(jù)“垂線段最短”這一定理，當(dāng)∠BP′D=90°時(shí)，DP′最短．

解答 解：（1）∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADC=∠ADG+∠CDG，
∴∠B+∠BAD=∠ADG+∠CDG，
∵三角形ABC是等邊三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵∠ADG=60°，
∴∠BAD=∠CDG，
∵∠B=∠C，
∴△ABD∽△DCG．
（2）由（1）知△ABD∽△DCG，
∴$\frac{AB}{CD}=\frac{BD}{CG}$，
∵BD=x，CD=6-x，AB=6，CG=$\frac{5}{6}$，
代入得：$\frac{6}{6-x}=\frac{x}{\frac{5}{6}}$，
解得：x=1或5．
（3）①由旋轉(zhuǎn)知∠PCP′=60°，CP=CP′，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AC=BC，∠ACB=60°，
∴∠ACP=∠BCP′，
∴△ACP≌△BCP′，
∠CBP′=∠CAD=30°．
②如圖3，

根據(jù)“垂線段最短”可知，當(dāng)DP′⊥BP′時(shí)，DP′最短，
∵∠CBP′=30°，
∴DP′=$\frac{1}{2}$BD=1.5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似形三角形的性質(zhì)定理與判定定理，解決本題的關(guān)鍵是相似三角形的判定定理，以及垂線段最短．