Question

7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+bx+c與⊙M相交于A、B、C、D四點(diǎn)，其中A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-1，0），（0，-2），點(diǎn)D在x軸上且AD為⊙M的直徑．點(diǎn)E是⊙M與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)，過(guò)劣弧$\widehat{ED}$上的點(diǎn)F作FH⊥AD于點(diǎn)H，且FH=1.5
（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)及該拋物線的表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試求出△PEF的周長(zhǎng)最小時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使△QCM是等腰三角形？如果存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)圓的軸對(duì)稱性求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，將A、B、D三點(diǎn)代入，即可求出本題的答案；
（2）由于點(diǎn)E與點(diǎn)B 關(guān)于x軸對(duì)稱，所以，連接BF，直線BF與x軸的交點(diǎn)，即為點(diǎn)P，據(jù)此即可得解；
（3）從CM=MQ，CM=CQ，MQ=CQ三個(gè)方面進(jìn)行分析，據(jù)此即可得解．

解答 解：（1）連接BD，
∵AD是⊙M的直徑，∴∠ABD=90°
∴△AOB∽△ABD，
∴$\frac{AO}{AB}$=$\frac{AB}{AD}$，
在Rt△AOB中，AO=1，BO=2，
根據(jù)勾股定理得：AB=$\sqrt{5}$，
∴$\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{AD}$，
∴AD=5，
∴DO=AD-AO=5-1=4，
∴D（4，0），
把點(diǎn)A（-1，0）、B（0，-2）、D（4，0）代入y=ax²+bx+c可得：
$\left\{\begin{array}{l}{c=-2}\\{16a+4b+c=0}\\{a-b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{3}{2}}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
∴拋物線表達(dá)式為：$y=\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{3}{2}x-2$；
（2）連接FM，
在Rt△FHM中，F(xiàn)M=$\frac{5}{2}$，F(xiàn)H=$\frac{3}{2}$，
∴MH=$\sqrt{（\frac{5}{2}）^{2}-（\frac{3}{2}）^{2}}$=2，
OM=AM-OA=$\frac{5}{2}$-1=$\frac{3}{2}$，
∴OH=OM+MH=$\frac{3}{2}$+2=$\frac{7}{2}$，
∴F（$\frac{7}{2}$，$\frac{3}{2}$），
設(shè)直線BF的解析式為y=kx+b，
則：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{7}{2}k+b=\frac{3}{2}}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴直線BF的解析式為：y=x-2，
連接BF交x軸于點(diǎn)P，∵點(diǎn)E與點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱，
∴點(diǎn)P即為所求，
當(dāng)y=0時(shí)，x=2，
∴P（2，0）；
（3）如圖，CM=$\frac{5}{2}$
拋物線$y=\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{3}{2}x-2$的對(duì)稱軸為直線x=$\frac{3}{2}$，
∵OM=$\frac{3}{2}$，∴點(diǎn)M在直線x=$\frac{3}{2}$上，
根據(jù)圓的對(duì)稱性可知，點(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于直線x=$\frac{3}{2}$對(duì)稱，
∴點(diǎn)C（3，-2），
①當(dāng)CM=MQ=$\frac{5}{2}$時(shí)，點(diǎn)Q可能在x軸上方，也可能在x軸下方，
∴Q₁（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$），Q₂（$\frac{3}{2}$，$-\frac{5}{2}$），
②當(dāng)CM=CQ時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作CN⊥MQ，
∴MN=NQ=2，∴MQ=4，
∴Q₃（$\frac{3}{2}$，-4），
③當(dāng)CQ₄=MQ₄時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作CR⊥MQ，Q₄V⊥CM，
則：MV=CV=$\frac{5}{4}$，Q₄V=$\sqrt{M{{Q}_{4}}^{2}-\frac{25}{16}}$，
Rt△CRM∽R(shí)t△Q₄VM，
∴$\frac{M{Q}_{4}}{\frac{5}{2}}=\frac{\sqrt{M{{Q}_{4}}^{2}-\frac{25}{16}}}{\frac{3}{2}}$，
解得：MQ₄=$\frac{25}{16}$，
∴Q₄（$\frac{3}{2}$，-$\frac{25}{16}$）
綜上可知，存在四個(gè)點(diǎn)，即：
Q₁（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$），Q₂（$\frac{3}{2}$，$-\frac{5}{2}$），Q₃（$\frac{3}{2}$，-4），Q₄（$\frac{3}{2}$，-$\frac{25}{16}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了二次函數(shù)的拋物線的解析式的求法，以及根據(jù)對(duì)稱求線段的最小值的問(wèn)題，還考查了等腰三角形的知識(shí)和相似三角形的知識(shí)，是一道綜合性很強(qiáng)的題目，注意認(rèn)真總結(jié)．