Question

6．如圖，已知拋物線y=-$\frac{1}{m}$（x+2）（x-m）（其中m＞0）與x軸交于點B、C（點B在點C的左側），與y軸交于點E．
（1）若該拋物線經(jīng)過點M（4，2），求實數(shù)m的值和△BCE的面積．
（2）若該拋物線的對稱軸上存在一點H，使得BH+EH的最小值為2$\sqrt{5}$，求此時點H的坐標．
（3）在第四象限內(nèi)的拋物線上是否存在一點F，使得△BCF∽△BEC？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）用待定系數(shù)法直接求出m的值，再用三角形的面積公式即可得出結論；
（2）根據(jù)拋物線的對稱性確定出點H的位置，再求出直線CE解析式和拋物線對稱軸方程，進而確定出點H的坐標；用極值確定出m的值；
（3）利用相似三角形得出∠CBE=∠CBF，進而判斷出OE=OD，即可得出直線BD解析式，聯(lián)立拋物線解析式即可確定出m；

解答 解：（1）∵拋物線y=-$\frac{1}{m}$（x+2）（x-m）經(jīng)過點M（4，2），
∴2=-$\frac{1}{m}$（4+2）（4-m），
∴m=3，
∴拋物線y=-$\frac{1}{3}$（x+2）（x-3），
∴B（-2，0），C（3，0），E（0，2），
∴BC=3-（-2）=5，OE=2，
∴S_△BCE=$\frac{1}{2}$BC×OE=$\frac{1}{2}$×5×2=5，
（2）如圖1，拋物線y=-$\frac{1}{m}$（x+2）（x-m）（其中m＞0）與x軸交于點B、C（點B在點C的左側），
∴E（0，2），C（m，0），
∴CE=$\sqrt{{m}^{2}+4}$
∵點B，C關于拋物線的對稱軸對稱，
∴連接CE，交拋物線于H，CE就是最小值，
∵使得BH+EH的最小值為2$\sqrt{5}$，
∴$\sqrt{{m}^{2}+4}$=2$\sqrt{5}$，
∴m=±4，∵m＞0，
∴m=4，
∴拋物線解析式為y=-$\frac{1}{4}$（x+2）（x-4），
∴此拋物線的對稱軸為x=1，
∴C（4，0），
∵E（0，2），
∴直線CE解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+2，
∴當x=1時，y=-$\frac{1}{4}$（1+2）（1-4）=$\frac{9}{4}$，
∴H（1，$\frac{9}{4}$），
（3）存在，
理由：如圖2，由（1）知，B（-2，0），C（m，0），E（0，2），
∴BE=2$\sqrt{2}$，BC=m+2，CE=$\sqrt{{m}^{2}+4}$，OE=2，
∵△BCF∽△BEC，
∴∠CBE=∠CBF，
∵BC⊥DE，
∴OD=DE=2，
∴D（0，-2），
∵B（-2，0），
∴直線BD的解析式為y=-x-2①，
∵拋物線y=-$\frac{1}{m}$（x+2）（x-m）②，
聯(lián)立①②得，F(xiàn)（2m，-2m-2），
∵C（m，0），
∴CF=$\sqrt{{m}^{2}+（2m+2）^{2}}$，BF=$\sqrt{（2m+2）^{2}+（2m+2）^{2}}$=$\sqrt{8（m+1）^{2}}$，
∵△BCF∽△BEC，
∴$\frac{BF}{BC}=\frac{CF}{CE}$，
∴$\frac{\sqrt{8（m+1）^{2}}}{m+2}=\frac{\sqrt{{m}^{2}+（2m+2）^{2}}}{\sqrt{{m}^{2}+4}}$，
∴m=±1，
∵m＞0，
∴m=1，
∴m=1時，△BCF∽△BEC．

點評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，三角形的面積公式，相似三角形的性質，解本題的關鍵是確定出m的值，是一道難度比較大的中考�？碱}．