Question

18．如圖，在平面直角坐標系xoy中，把拋物線y=x²先向右平移1個單位，再向下平移4個單位，得到拋物線y=（x-h）²+k，所得拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，頂點為M；
（1）寫出h、k的值以及點A、B的坐標；
（2）判斷三角形BCM的形狀，并計算其面積；
（3）點P是拋物線上一動點，在y軸上找點Q．使點A，B，P，Q組成的四邊形是平行四邊形，直接寫出對應(yīng)的點P的坐標．（不用寫過程）
（4）點P是拋物線上一動點，連接AP，以AP為一邊作正方形APFG，隨著點P的運動，正方形的大小、位置也隨之改變．當(dāng)頂點F或G恰好落在y軸上時，請直接寫出對應(yīng)的點P的坐標．（不寫過程）

Answer 1

分析 （1）利用拋物線的平移規(guī)律即可求得h和k的值；然后令y=0即可求得與x軸的交點坐標；
（2）首先求得點C和點M的坐標，然后求得BC、CM及BM的長，最后利用勾股定理逆定理判定直角三角形即可；
（3）分兩AB為邊和AB為對角線兩種情況討論計算即可．
（4）分別根據(jù)當(dāng)點G在y軸上時和點F在y軸上時兩種情況利用△AOG≌△PHA和△AMP≌△FNP求得點P的坐標即可．

解答 解：（1）∵拋物線y=x²先向右平移1個單位，再向下平移4個單位，得到拋物線y=（x-1）²-4，
∴h=1，k=-4；
令y=0，即（x-1）²-4=0
解得x=-1或x=3，
∴A（-1，0），B （3，0），
（2）∵令x=0，得y=（0-1）²-4=-3，
∴點C的坐標為（0，-3），點M的坐標為（1，-4）
∴BC=3$\sqrt{2}$，MC=$\sqrt{2}$，BM=2$\sqrt{5}$
∴BC²+MC²=BM²
∴△BMC是直角三角形； 
∴S=$\frac{1}{2}$BC•CM=$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=3；
（3）由（1）知，拋物線y=（x-1）²-4=x²-2x-3，
∵點P是拋物線上一動點，
∴設(shè)P（p，p²-2p-3），
∵點Q在y軸上，
∴設(shè)Q（0，m），
∵A（-1，0），B（3，0），
∴AB=4，AB的中點M（1，0）
∵點A，B，P，Q組成的四邊形是平行四邊形，
①當(dāng)AB為邊時，AB∥PQ，AB=PQ，
∴p²-2p-3=m，|p|=4，
Ⅰ、當(dāng)p=4時，m=5，
∴P（4，5），
Ⅱ、當(dāng)p=-4時，m=21，
∴P（-4，21）
②當(dāng)AB為對角線時，點M是PQ的中點，
∴p=2，p²-2p-3+m=0，
∴p=2，m=3，
∴P（2，-3），
∴點P的坐標為（4，5），（-4，21）或（2，-3），
（4）①如圖（1），（2）當(dāng)點G在y軸上時，


由△AOG≌△PHA，
得PH=OA，得y_P=x_A=-1，
∴x²-2x-3=-1，
得x=1±$\sqrt{2}$，
∴P₁（1-$\sqrt{2}$，-1），P₂（1+$\sqrt{2}$，-1）
②如圖（3），

當(dāng)點F在y軸上時，由△AMP≌△FNP，
得PM=PN，得y_P=x_P，
則x²-2x-3=x，
得x=$\frac{3+\sqrt{21}}{2}$，x=$\frac{3-\sqrt{21}}{2}$（舍去），
故P₃（$\frac{3+\sqrt{21}}{2}$，$\frac{3+\sqrt{21}}{2}$）．．

點評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要拋物線的平移的性質(zhì)，直角三角形的判定，平行四邊形的性質(zhì)，三角形的面積公式，全等三角形的判定和性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是分類討論思想，是一道難度比較大的中考�？碱}．