Question

14．在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，將△ABC繞頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為θ（0°＜θ＜180°），得到△A′B′C′．
（1）如圖（1），當(dāng)旋轉(zhuǎn)角θ為多少度時(shí)，AB∥CB′？
（2）在（1）的條件下，設(shè)A′B′與CB相交于點(diǎn)D．試判斷△A′CD的形狀，并說(shuō)明理由；
（3）如圖（2），設(shè)AC中點(diǎn)為E，A′B′中點(diǎn)為P，AC=a，連接EP，當(dāng)θ=120°時(shí)，EP長(zhǎng)度最大，最大值為$\frac{3}{2}$a．

Answer 1

分析 （1）求出∠BCB′=∠B=30°，根據(jù)平行線的判定得出即可；
（2）求出∠A′=∠ACD=60°，根據(jù)等邊三角形的判定得出即可；
（3）連結(jié)CP，如圖1，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得AB=2AC=2a，由E為AC的中點(diǎn)得CE=$\frac{1}{2}$a，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得A′B′=AB=2a，則根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)易得CP=$\frac{1}{2}$A′B′=a，于是根據(jù)三角形三邊的關(guān)系有PE＜CE+PC，所以只有當(dāng)點(diǎn)P在EC的延長(zhǎng)線上時(shí)，PE最大，此時(shí)PE=CE+PC=$\frac{3}{2}$a，如圖2．

解答 解：（1）當(dāng)θ=30°時(shí)，AB∥B′C，
理由是：∵θ=30°，∠ACB=90°，
∴∠A′CB′=90°，
∴∠BCB′=90°-60°=30°，
∵∠B=30°，
∴∠B=∠BCB′，
∴AB∥B′C；

（2）△A′CD的形狀是等邊三角形，
理由是：∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠A=180°-90°-30°=60°，
∴∠A′=∠A=60°，
∴∠A′=∠A′CD=60°，
∴A′D=CD，
∴△A′CD是等邊三角形；
（3）連結(jié)CP，如圖1，
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴AB=2AC=2a，
∵E為AC的中點(diǎn)，
∴CE=$\frac{1}{2}$a，
∵△ABC繞頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為θ（0°＜θ＜180°），
∴A′B′=AB=2a，
∵點(diǎn)P為A′B′的中點(diǎn)，
∴CP=$\frac{1}{2}$A′B′=a，
∵PE＜CE+PC，
∴只有當(dāng)點(diǎn)P在EC的延長(zhǎng)線上時(shí)，PE=CE+PC，此時(shí)PE最大，如圖2，
即PE的最大值為$\frac{1}{2}$a+a=$\frac{3}{2}$a，
此時(shí)θ=∠P′CB+∠BCP=30°+90°=120°，
故答案為：120°，$\frac{3}{2}$a．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等邊三角形的判定，平行線的判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的應(yīng)用，注意：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)．