Question

4．已知：如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4，∠A=60°，M是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BD到點(diǎn)E，連接EC，F(xiàn)是EC的中點(diǎn)
（1）求BD的長(zhǎng)；
（2）如果∠E=45°，求MF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得AD=AB=4，則可判斷△ABD為等邊三角形，于是BD=AB=4；
（2）連結(jié)AC，如圖，根據(jù)菱形的性質(zhì)得AC和BD互相垂直平分，而M是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，則可判定AC經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，即CM⊥BD，所以∠CME=90°，AM=CM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=2$\sqrt{3}$，接著由∠E=45°判斷△MCE為等腰直角三角形，得到CE=$\sqrt{2}$CM=2$\sqrt{6}$，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得MF=$\frac{1}{2}$CE=$\sqrt{6}$．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD為菱形，
∴AD=AB=4，
而∠A=60°，
∴△ABD為等邊三角形，
∴BD=AB=4；
（2）連結(jié)AC，如圖，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AC和BD互相垂直平分，
而M是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，
∴AC經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，
∴CM⊥BD，
∴∠CME=90°，AM=CM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=2$\sqrt{3}$，
∵∠E=45°，
∴△MCE為等腰直角三角形，
∴CE=$\sqrt{2}$CM=2$\sqrt{6}$，
∵F是EC的中點(diǎn)，
∴MF=$\frac{1}{2}$CE=$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了菱形的性質(zhì)：菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；菱形是軸對(duì)稱圖形，它有2條對(duì)稱軸，分別是兩條對(duì)角線所在直線．