Question

16．如圖，已知拋物線(xiàn)y=$\frac{\sqrt{2}}{8}$（x+2）（x-4）與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，CD∥x軸交拋物線(xiàn)于點(diǎn)D，M為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；
（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)N（-2，n），求使MN+BN的值最小時(shí)n的值；
（3）P是拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，請(qǐng)你探究：是否存在點(diǎn)P，使以P、A、B為頂點(diǎn)的三角形與△ABD相似（△PAB與△ABD不重合）？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）令y=0可求得點(diǎn)A、點(diǎn)B的橫坐標(biāo)，令x=0可求得點(diǎn)C的縱坐標(biāo)；
（2）根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短作M點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)x=-2的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M′，當(dāng)N（-2，N）在直線(xiàn)M′B上時(shí)，MN+BN的值最��；
（3）需要分類(lèi)討論：△PAB∽△ABD、△PAB∽△ABD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得PB的長(zhǎng)度，然后可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）令y=0得x₁=-2，x₂=4，
∴點(diǎn)A（-2，0）、B（4，0）
令x=0得y=-$\sqrt{2}$，
∴點(diǎn)C（0，-$\sqrt{2}$）
（2）將x=1代入拋物線(xiàn)的解析式得y=-$\frac{9\sqrt{2}}{8}$
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，-$\frac{9\sqrt{2}}{8}$）
∴點(diǎn)M關(guān)于直線(xiàn)x=-2的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M′的坐標(biāo)為（-5，$-\frac{9\sqrt{2}}{8}$）
設(shè)直線(xiàn)M′B的解析式為y=kx+b
將點(diǎn)M′、B的坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{-5k+b=-\frac{9\sqrt{2}}{8}}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{\sqrt{2}}{8}}\\{b=-\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$
所以直線(xiàn)M′B的解析式為y=$\frac{\sqrt{2}}{8}x-\frac{\sqrt{2}}{2}$．
將x=-2代入得：y=-$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
所以n=-$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．
（3）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BA，垂足為E．

由勾股定理得：
AD=$\sqrt{A{E}^{2}+D{E}^{2}}=\sqrt{{4}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
BD=$\sqrt{D{E}^{2}+B{E}^{2}}=\sqrt{{2}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}=\sqrt{6}$，
如下圖，①當(dāng)P₁AB∽△ADB時(shí)，
$\frac{{P}_{1}B}{AB}=\frac{AB}{BD}$即：$\frac{{P}_{1}B}{6}=\frac{6}{\sqrt{6}}$
∴P₁B=6$\sqrt{6}$
過(guò)點(diǎn)P₁作P₁M₁⊥AB，垂足為M₁．
∴$\frac{{P}_{1}{M}_{1}}{{P}_{1}B}=\frac{DE}{BD}$即：$\frac{{P}_{1}{M}_{1}}{6\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}$
解得：P₁M₁=6$\sqrt{2}$，
∵$\frac{B{M}_{1}}{{P}_{1}B}=\frac{BE}{BD}$即：$\frac{B{M}_{1}}{6\sqrt{6}}=\frac{2}{\sqrt{6}}$
解得：BM₁=12
∴點(diǎn)P₁的坐標(biāo)為（-8，6$\sqrt{2}$）
∵點(diǎn)P₁不在拋物線(xiàn)上，所以此種情況不存在；
②當(dāng)△P₂AB∽△BDA時(shí)，$\frac{{P}_{2}B}{AB}=\frac{AB}{AD}$即：$\frac{{P}_{2}B}{6}=\frac{6}{3\sqrt{2}}$
∴P₂B=6$\sqrt{2}$
過(guò)點(diǎn)P₂作P₂M₂⊥AB，垂足為M₂．
∴$\frac{{P}_{2}{M}_{2}}{{P}_{2}B}=\frac{DE}{AD}$，即：$\frac{{P}_{2}{M}_{2}}{6\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}$
∴P₂M₂=2$\sqrt{2}$
∵$\frac{{M}_{2}B}{{P}_{2}B}=\frac{AE}{AD}$，即：$\frac{{M}_{2}B}{6\sqrt{2}}=\frac{4}{3\sqrt{2}}$
∴M₂B=8
∴點(diǎn)P₂的坐標(biāo)為（-4，2$\sqrt{2}$）
將x=-4代入拋物線(xiàn)的解析式得：y=2$\sqrt{2}$，
∴點(diǎn)P₂在拋物線(xiàn)上．
由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知：點(diǎn)P₂與點(diǎn)P₄關(guān)于直線(xiàn)x=1對(duì)稱(chēng)，
∴P₄的坐標(biāo)為（6，2$\sqrt{2}$），
當(dāng)點(diǎn)P₃位于點(diǎn)C處時(shí)，兩三角形全等，所以點(diǎn)P₃的坐標(biāo)為（0，-$\sqrt{2}$），
綜上所述點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（-4，2$\sqrt{2}$）或（6，2$\sqrt{2}$）或（0，-$\sqrt{2}$）時(shí)，以P、A、B為頂點(diǎn)的三角形與△ABD相似．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了二次函數(shù)、一次函數(shù)、軸對(duì)稱(chēng)--路徑最短、相似三角形的性質(zhì)，難度較大，利用相似三角形的性質(zhì)求得PB的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵，解答本題需要注意的是在不確定相似三角形的對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊的情況下要分類(lèi)討論，不要漏解．