Question

8．襄陽(yáng)地區(qū)近年來(lái)城市發(fā)展迅速，交通道路的擴(kuò)展帶動(dòng)園林綠化的蓬勃發(fā)展，襄陽(yáng)“紫薇公司看到了其中蘊(yùn)含的商機(jī)，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，城市綠化主要需鑒兩種不同景觀樹(shù)木．大型造型樹(shù)木和小型景觀喬木．其中大型造型樹(shù)木和小型景觀喬木所投資的金額與市場(chǎng)利澗存在下表所示的函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系．

	大型造型樹(shù)木		小型景觀喬木
投資金額x（萬(wàn)元）	x	5	x	2	4
市場(chǎng)利潤(rùn)y（萬(wàn)元）	y1=kx（k≠0）	2	y2=ax2+bx（a≠0）	2.4	3.2

（1）分別求y₁和y₂的函數(shù)解析式；
（2）有一農(nóng)戶投資10萬(wàn)元加盟“襄陽(yáng)紫薇公司”對(duì)這兩種景觀樹(shù)木進(jìn)行投資，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)能獲得最大利潤(rùn)的投資方案，并求出按此方案能獲得的最大利潤(rùn)．

Answer 1

分析 （1）直接利用待定系數(shù)法分別得出y₁和y₂的函數(shù)解析式；
（2）設(shè)投資小型景觀喬木x萬(wàn)元，則大型造型樹(shù)木（10-x）萬(wàn)元，獲得利潤(rùn)W萬(wàn)元，列出函數(shù)關(guān)系式求出最大利潤(rùn)．

解答 解：（1））∵當(dāng)x=5時(shí)，y₁=2，
∴2=5k，
∴k=0.4．
∴y₁=0.4x．
當(dāng)x=2時(shí)，y₂=2.4；
當(dāng)x=4時(shí)，y₂=3.2
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b=2.4}\\{16a+4b=3.2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-0.2}\\{b=1.6}\end{array}\right.$．
∴y₂=-0.2x²+1.6x．

（2）設(shè)小型景觀喬木x萬(wàn)元，則大型造型樹(shù)木（10-x）萬(wàn)元，獲得利潤(rùn)W萬(wàn)元，
根據(jù)題意可得W=-0.2x²+1.6x+0.4（10-x）=-0.2x²+1.2x+4，
∴W=-0.2（x-3）²+5.8，
當(dāng)小型景觀喬木3萬(wàn)元時(shí)，可以獲得最大利潤(rùn)5.8萬(wàn)元，
所以大型造型樹(shù)木7萬(wàn)元，小型景觀喬木3萬(wàn)元，這樣投資可以獲得最大利潤(rùn)5.8萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，此題難點(diǎn)在第二個(gè)問(wèn)題，求出利潤(rùn)表達(dá)式，運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)求最值，常用配方法或公式法．