Question

11．如圖1，在等邊△ABC的邊AC的延長線上取一點(diǎn)E，以CE為邊作等邊△CDE，使它與△ABC位于直線AE的同側(cè)．
（1）同學(xué)們對圖1進(jìn)行了熱烈的討論，猜想出如下結(jié)論，你認(rèn)為正確的有①②③④⑤（填序號）．
①△ACD≌△BCE；②△ACP≌△BCQ； ③△DCP≌△ECQ；④∠ARB=60°；⑤△CPQ是等邊三角形．
（2）當(dāng)?shù)冗叀鰿ED繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度后（如圖2），（1）中有哪些結(jié)論還是成立的？并對正確的結(jié)論分別予以證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出各角都是60°，各邊相等，再利用全等三角形的判定和性質(zhì)證明即可；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和全等三角形的判定解答即可．

解答 解：（1）∵等邊△ABC和等邊△CDE，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD與△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠DAC=∠EBC，
同理證明△ACP≌△BCQ；△DCP≌△ECQ；
進(jìn)而得出∠ARB=60°；△CPQ是等邊三角形；
所以正確的有①②③④⑤；
故答案為：①②③④⑤；
（2）當(dāng)?shù)冗叀鰿ED繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度后 （1）中結(jié)論①、④仍然成立，證明如下：
∵△ABC和△CDE是等邊三角形
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACB+∠BCD=∠ECD+∠BCD
即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠BCE=∠CAD，
又∵∠APC=∠BPR，
∴∠ACB=∠ARB，
∵∠ACB=60°，
∴∠ARB=60°．

點(diǎn)評 此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．