Question

2．如圖，正比例函數(shù)y=$\frac{1}{2}$x的圖象與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0）在第一象限的圖象交于A點(diǎn)，過A點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為M，已知△OAM的面積為1．如果B為反比例函數(shù)在第一象限圖象上的點(diǎn)（點(diǎn)B與點(diǎn)A不重合），且B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，在x軸上求一點(diǎn)P，使PA+PB最小．

Answer 1

分析 根據(jù)反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的乘積為函數(shù)的系數(shù)和△OAM的面積為1可得k=2，即反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{2}{x}$．要使PA+PB最小，需作出A點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)C，連接BC，交x軸于點(diǎn)P，P為所求點(diǎn)．A點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)C（2，-1），而B為（1，2），故BC的解析式為y=-3x+5，當(dāng)y=0時，x=$\frac{5}{3}$，即可得出答案．

解答 解：設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，b），則b=$\frac{k}{a}$，
∴ab=k，
∵$\frac{1}{2}$ab=1，
∴$\frac{1}{2}$k=1
∴k=2，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{2}{x}$．
根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示：
聯(lián)立得$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{x}}\\{y=\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴A為（2，1），
設(shè)A點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為C，則C點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，-1）．
令直線BC的解析式為y=mx+n
∵B為（1，2），
將B和C的坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{2m+n=-1}\\{m+n=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-3}\\{n=5}\end{array}\right.$
∴BC的解析式為y=-3x+5，
當(dāng)y=0時，$\frac{5}{3}$，
∴P點(diǎn)為（$\frac{5}{3}$，0）．

點(diǎn)評 此題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，反比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式的確定、圖形的面積求法、軸對稱等知識及綜合應(yīng)用知識、解決問題的能力．有點(diǎn)難度．