Question

14．如圖，二次函數(shù)y=-x²+3x+m的圖象與x軸的一個交點為B（4，0），另一個交點為A，且與y軸相交于C點．
（1）求m的值及C點坐標；
（2）P為拋物線上一點，它關(guān)于直線BC的對稱點為Q．
①當四邊形PBQC為菱形時，求點P的坐標；
②點P的橫坐標為t（0＜t＜4），當t為何值時，四邊形PBQC的面積最大，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；
（2）①先判斷出四邊形PBQC時菱形時，點P是線段BC的垂直平分線，利用該特殊性建立方程求解；
②先求出四邊形PBCQ的面積與t的函數(shù)關(guān)系式，從而確定出它的最大值．

解答 解：（1）將B（4，0）代入y=-x²+3x+m，解得，m=4，
∴二次函數(shù)解析式為y=-x²+3x+4，
令x=0，得y=4，
∴C（0，4）．

（2）①如圖，∵點P在拋物線上，
∴設(shè)P（m，-m²+3m+4），
當四邊形PBQC是菱形時，點P在線段BC的垂直平分線上，
∵B（4，0），C（0，4）
∴線段BC的垂直平分線的解析式為y=x，
∴m=-m²+3m+4，
∴m=1±$\sqrt{5}$，
∴P（1+$\sqrt{5}$，1+$\sqrt{5}$）或P（1-$\sqrt{5}$，1-$\sqrt{5}$）．

②如圖，設(shè)點P（t，-t²+3t+4），過點P作y軸的平行線l交BC與D，交x軸與E；
過點C作l的垂線交l與F，
∵點D在直線BC上，
∴D（t，-t+4），
∵B（4，0），C（0，4），
∴直線BC解析式為y=-x+4，
∵PD=-t²+3t+4-（-t+4）=-t²+4t，BE+CF=4，
∴S_{四邊形PBQC}=2S_△PCB=2（S_△PCD+S_△PBD）=2（$\frac{1}{2}$PD×CF+$\frac{1}{2}$PD×BE）=4PD=-4t²+16t，
∵0＜t＜4，
∴當t=2時，S_{四邊形PBQC最大}=16

點評 此題是二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法、菱形的判定和性質(zhì)、解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用這些知識解決問題，學會構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問題，屬于中考壓軸題．