Question

15．如圖，AB為⊙O的直徑，AT是⊙O的切線，TB交⊙O于D，TO交⊙OFC，TO的延長(zhǎng)線交⊙O于E，若BD=TD，求tan∠BDE值．

Answer 1

分析 連接BC、AD，作BF⊥CE于點(diǎn)F，易證△BAT是等腰直角三角形，設(shè)圓的半徑長(zhǎng)是x，根據(jù)△OAT∽△OFB，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，用x表示出BF，則CF即可求得，則∠BAF的正切值即可求得，然后根據(jù)∠BDE=∠BCE即可求解．

解答 解：連接BC、AD，作BF⊥CE于點(diǎn)F．
∵AT是⊙O的切線，
∴AB⊥AT，即∠BAT=90°，
∵AB是圓的直徑，
∴∠ADB=90°，
又∵BD=DT，
∴△ABT是等腰直角三角形．
設(shè)圓的半徑長(zhǎng)是x，則OA=OB=x，AT=AB=2x．
在直角△OAT中，OT=$\sqrt{O{A}^{2}+A{T}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+（2x）^{2}}$=$\sqrt{5}$x．
∵在△OAT和△FOB中，∠BOF=∠TOA，∠TAO=∠BOF=90°，
∴△OAT∽△OFB，
∴$\frac{BF}{AT}$=$\frac{OB}{OT}$，即$\frac{BF}{2x}$=$\frac{x}{\sqrt{5}x}$，
∴BF=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x，
在Rt△OFB中，OF=$\sqrt{O{B}^{2}-B{F}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}-（\frac{2\sqrt{5}}{5}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$x．
∴CF=OC+OF=x+$\frac{\sqrt{5}}{5}$x=$\frac{5+\sqrt{5}}{5}$x．
∴tan∠BCF=$\frac{BF}{CF}$=$\frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}x}{\frac{5+\sqrt{5}}{5}x}$=$\frac{5-\sqrt{5}}{10}$．
∴tan∠BDE=tan∠BCF=$\frac{5-\sqrt{5}}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)定理、相似三角形的判定與性質(zhì)，以及三角函數(shù)的求法，正確作出輔助線，把求三角函數(shù)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求線段的比的問(wèn)題是關(guān)鍵．