Question

20．如圖，E，F(xiàn)分別是邊長為a的正方形ABCD的邊AB，AD上的點，∠ECF=45°．
（1）求證：CF平分∠DFE；
（2）若$\frac{AE}{AB}$=k．用含有k的代數(shù)式表示$\frac{CE}{CF}$的值；
（3）若a=2，AE=x，AF=y．
①求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
②確定當(dāng)$\frac{5\sqrt{2}}{8}$≤$\frac{CE}{CF}$≤$\frac{3\sqrt{2}}{4}$時，y的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，延長AD到G，使DG=BE．只要證明△ECF≌△GCF即可解決問題．
（2）如圖2中，過E作EP⊥AC，垂足為P．由△ECP≌△FCD，可得$\frac{CE}{CF}$=$\frac{CP}{CD}$，設(shè)CD=BC=AB=a，AC=$\sqrt{2}$a，∠EAP=45°，推出AP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AE，BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC，可得$\frac{CE}{CF}$=$\frac{CP}{CD}$=$\frac{AC-AP}{AB}$=$\frac{AC-\frac{\sqrt{2}}{2}AE}{\frac{\sqrt{2}}{2}AC}$=$\sqrt{2}$-$\frac{AE}{AC}$=$\sqrt{2}$-$\frac{AE}{\sqrt{2}AB}$=$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$k；
（3）①解法一：在Rt△AEF中根據(jù)勾股定理得：[4-（x+y）]²=x²+y²，進行變形即可；
解法二：由$\frac{AE}{AB}$=$\frac{x}{2}$，$\frac{AF}{AD}$=$\frac{y}{2}$，由（2）得：$\frac{CE}{CF}$=$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$k=$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{4}$x，同理可得$\frac{CF}{CE}$=$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{4}$y，由$\frac{CE}{CF}$•$\frac{CF}{CE}$=1，可得（$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{4}$x）（$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{4}$y）=1，由此即可解決問題；
②根據(jù)條件把問題轉(zhuǎn)化為不等式組解決；

解答 解：（1）證明：延長AD到G，使DG=BE．

∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC=DC，∠B=∠ADC=90°，
∴∠CDG=∠B=90°，
∴△CBE≌△CDG，
∴∠BCE=∠DCG，CE=CG，
∴∠DCG+∠ECD=∠BCE+∠ECD=90°，
∵∠ECF=45°，
∴∠GCF=∠ECF=45°，
又∵CE=CG，CF=CF，
∴△ECF≌△GCF，
∴∠CFE=∠CFG，即CF平分∠DFE．

（2）如圖2，過E作EP⊥AC，垂足為P．

∵∠ECF+∠ACF=∠FCD+∠ACF=45°，
∴∠ECF=45°-∠ACF=∠FCD，
又∵∠EPC=∠FDC=90°，
∴△ECP≌△FCD，
∴$\frac{CE}{CF}$=$\frac{CP}{CD}$，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴CD=BC=AB=a，AC=$\sqrt{2}$a，∠EAP=45°，
∴AP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AE，BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC，
∴$\frac{CE}{CF}$=$\frac{CP}{CD}$=$\frac{AC-AP}{AB}$=$\frac{AC-\frac{\sqrt{2}}{2}AE}{\frac{\sqrt{2}}{2}AC}$=$\sqrt{2}$-$\frac{AE}{AC}$=$\sqrt{2}$-$\frac{AE}{\sqrt{2}AB}$=$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$k，

（3）①解法1：如圖1，由（1）知，△ECF≌△GCF，BE=2-x，DF=2-y，
∴EF=GF=4-（x+y）
在Rt△AEF中根據(jù)勾股定理得：[4-（x+y）]²=x²+y²，
整理，得：xy-4（x+y）+8=0，（x-4）（y-4）=8，y-4=$\frac{8}{x-4}$，
所以y與x之間的函數(shù)解析式為y=4+$\frac{8}{x-4}$，x的取值范圍是0≤x≤2．
解法2：∵$\frac{AE}{AB}$=$\frac{x}{2}$，$\frac{AF}{AD}$=$\frac{y}{2}$，由（2）得：$\frac{CE}{CF}$=$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$k=$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{4}$x，
同理可得$\frac{CF}{CE}$=$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{4}$y，
∵$\frac{CE}{CF}$•$\frac{CF}{CE}$=1，
∴（$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{4}$x）（$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{4}$y）=1，
∴（1-$\frac{1}{4}$x）（1-$\frac{1}{4}$y）=$\frac{1}{2}$；
（x-4）（y-4）=8，即y=4+$\frac{8}{x-4}$，x的取值范圍是0≤x≤2．

②∵$\frac{CE}{CF}$=$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{4}$x，$\frac{5\sqrt{2}}{8}$≤$\frac{CE}{CF}$≤$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{4}x≥\frac{5\sqrt{2}}{8}}\\{\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{4}x≤\frac{3\sqrt{2}}{4}}\end{array}\right.$，解這個不等式組，得：1≤x≤$\frac{3}{2}$；
畫出函數(shù)y=4+$\frac{8}{x-4}$的圖象如圖3：

由圖象可知：當(dāng)1≤x≤$\frac{3}{2}$時，y隨x的增大而減小，
當(dāng)x=1時，y=$\frac{4}{3}$，
當(dāng)x=$\frac{3}{2}$時，y=$\frac{12}{7}$，
所以y的取值范圍是$\frac{4}{3}$≤y≤$\frac{12}{7}$．

點評 本題考查相似形綜合題、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、不等式組等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會利用參數(shù)解決問題，屬于中考壓軸題．