Question

20．如圖，AB是⊙O的直徑，E為弦AC的延長線上一點(diǎn)，DE與⊙O相切于點(diǎn)D，且DE⊥AC，連結(jié)OD，若AB=10，AC=6，求DE的長．

Answer 1

分析 連結(jié)BC，如圖，BC與OD相交于點(diǎn)F，利用圓周角定理得到BC⊥AE，則BC∥DE，再利用切線的性質(zhì)得到OD⊥DE，接著利用垂徑定理得到CF=$\frac{1}{2}$BC，接下來判定四邊形CEDF是矩形得到DE=CF=$\frac{1}{2}$BC，然后利用勾股定理計(jì)算出BC，從而得到CF和DE的長．

解答 解：連結(jié)BC，如圖，BC與OD相交于點(diǎn)F，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴BC⊥AE，
又∵DE⊥AC，
∴BC∥DE，
∵DE是⊙O的切線，
∴OD⊥DE，
∴OD⊥BC，
∴CF=$\frac{1}{2}$BC，
∵BC⊥AE，DE⊥AC，DE⊥AC，
∴四邊形CEDF是矩形．
∴DE=CF=$\frac{1}{2}$BC，
在Rt△ACB中，∠ACB=90°，
∴BC=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
∴CF=4，
∴DE=4．

點(diǎn)評 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．也考查了垂徑定理和勾股定理．