Question

5．如圖，一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$的圖象交于A（2，4）、B（-4，n）兩點(diǎn)．
（1）分別求出一次函數(shù)與反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）根據(jù)所給條件，請直接寫出不等式kx+b＞$\frac{m}{x}$的解集；
（3）過點(diǎn)B作BC⊥x軸，垂足為C，連接AC，求S_△ABC．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)A的坐標(biāo)利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出k值，從而得出反比例函數(shù)的表達(dá)式，由點(diǎn)B的橫坐標(biāo)利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出一次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）根據(jù)兩函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系，即可找出不等式的解集；
（3）設(shè)直線AB交x軸于點(diǎn)D，利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，從而找出CD的長度，再根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合S_△ABC=S_△ACD+S_BCD，即可求出S_△ABC的值．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A（2，4）在y=$\frac{m}{x}$的圖象上，
∴m=2×4=8，
∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=$\frac{8}{x}$．
∵點(diǎn)B（-4，n）在反比例函數(shù)y=$\frac{8}{x}$的圖象上，
∴n=-2，
∴B（-4，-2）．
∵點(diǎn)A（2，4）、B（-4，-2）在直線y=kx+b上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=4}\\{-4k+b=-2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴一次函數(shù)的表達(dá)式為y=x+2．

（2）觀察函數(shù)圖象可知：當(dāng)-4＜x＜0或x＞2時，一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上，
∴不等式kx+b＞$\frac{8}{x}$的解集為：-4＜x＜0或x＞2．
（3）設(shè)直線AB交x軸于點(diǎn)D，如圖所示．
當(dāng)y=x+2=0時，x=-2，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-2，0）．
∴CD=2，
∴S_△ABC=S_△ACD+S_BCD=$\frac{1}{2}$×2×4+$\frac{1}{2}$×2×2=6．

點(diǎn)評 本題考查了一次（反比例）函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及三角形的面積，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)兩函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系，找出不等式的解集；（3）利用分割圖形求面積法求出△ABC的面積．