Question

13． 如圖，拋物線y=ax²+bx+c的開口向下，與x軸和y軸分別交于點(diǎn)A（-4，0）和點(diǎn)B（0，2），過點(diǎn)B作BC⊥AB交拋物線于點(diǎn)C，連接AC，且∠BAC=∠BAO．
（1）求BC的長；
（2）求拋物線的解析式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)勾股定理，可得AB的長，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得答案；
（2）根據(jù)兩點(diǎn)間的距離，可得兩個方程，根據(jù)解方程，可得C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式．

解答 解：（1）在Rt△AOB中，由勾股定理，得
AB=$\sqrt{{AO}^{2}{+BO}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
∵BC⊥AB，
∴∠ABC=∠AOB=90°，
∵∠CAB=∠BAO，
∴△CAB∽△BAO，
$\frac{BC}{BO}$=$\frac{AB}{AO}$，即$\frac{BC}{2}$=$\frac{2\sqrt{5}}{4}$，
BC=$\sqrt{5}$；

（2）設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n），由勾股定理，
AC=$\sqrt{{AB}^{2}{+BC}^{2}}$=5．
AC²=25，BC²=5，
即$\left\{\begin{array}{l}{{（m+4）}^{2}{+n}^{2}=25}\\{\;}\\{{m}^{2}{+（n-2）}^{2}=5}\end{array}\right.$，
解得m=-1，m=1（舍），n=4，
即C點(diǎn)坐標(biāo)（-1，4）．
將A，B，C點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=4}\\{16a-4b+c=0}\\{c=2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{5}{6}}\\{b=-\frac{17}{6}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
拋物線的解析式為y=-$\frac{5}{6}$x²-$\frac{17}{6}$x+2．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，解（1）的關(guān)鍵是利用相似三角形的判定與性質(zhì)；解（2）的關(guān)鍵是利用兩點(diǎn)間的距離求出C點(diǎn)坐標(biāo)，又利用了待定系數(shù)法．